Il Maraschini-Palma - volume 4

DATI E PREVISIONI O Da un urna contenente dieci palline numerate da 1 a 10 estraiamo contemporaneamente due palline. Individuiamo l universo dei casi possibili e calcoliamo la probabilità dell evento E = «i due numeri estratti sono l uno pari e l altro dispari . Poiché le palline vengono estratte contemporaneamente allora: Q i punteggi sulle palline estratte non possono essere identici; Q non si può stabilire un ordine fra le palline estratte. L universo dei casi possibili è, quindi, costituito da tutte le coppie, non ordinate, di numeri diversi costituibili con le dieci palline: U = {(1 ; 2), (1 ; 3), , (1 ; 10), (2 ; 3), , (2 ; 9), , (9 ; 10)} Il numero delle coppie che costituisce l universo U è uguale al numero delle combinazioni di 10 elementi di classe 2: PROVA TU P L Lanciando due dadi calcola la probabilità dei seguenti eventi: a. E1 = «la somma sia 5 b. E2 = «escono due 1 10! 10 9 C 10,2 = _ = _ = 45 2! 8! 2 1 I casi favorevoli al verificarsi dell evento E sono quelli appartenenti all insieme delle coppie di cui un elemento è pari e l altro è dispari. Queste coppie corrispondono al prodotto cartesiano dell insieme {1, 3, 5, 7, 9} con l insieme {2, 4, 6, 8, 10} o, indifferentemente, al prodotto cartesiano dell insieme{2, 4, 6, 8, 10} con l insieme {1, 3, 5, 7, 9} e sono 25. Abbiamo dunque: 25 5 p(E) = ___ = _ 45 9 La probabilità sulla base della frequenza (o a posteriori) Anche in questo caso partiamo da un esempio. Supponiamo di aver rilevato la durata di un campione di 800 batterie per automobile, ottenendo i dati riportati in tabella. Per una batteria dello stesso tipo e marca di quelle esaminate, stimiamo la probabilità dell evento: A = «la batteria dura almeno tre anni . ATTENZIONE! A N Nell indicazione degli intervalli numerici, la parentesi quadrata vicino a un estremo significa che quell estremo è incluso nell intervallo, mentre la parentesi tonda significa che ne è escluso. Così, per esempio la scrittura [1 ; 1,5) indica l insieme dei numeri reali tra 1 e 1,5 incluso l estremo 1 ed escluso l estremo 1,5. Durata (anni) <1 [1 ; 1,5) [1,5 ; 2) [2 ; 2,5) [2,5 ; 3) 3 n. batterie 61 84 142 247 172 94 Stando ai dati riportati in tabella possiamo immaginare che, acquistando una di queste 800 batterie, la probabilità di sceglierne una la cui durata sia maggiore o uguale a 3 anni sia: 94 p(A) = ____ = 0,1175 = 11,75% 800 Una misura della probabilità basata sulla frequenza può avvenire soltanto dopo aver esaminato un grande numero di casi (nel caso precedente, 800). Diamo la seguente: DEFINIZIONE Indicato con h il numero di prove in cui un esperimento ha dato esito favorevole, in cui cioè si è verificato un evento atteso E, e con n il numero totale degli esperimenti effettuati, allora, se n è molto grande, definiamo probabilità sulla base della frequenza (o stima frequentista della probabilità) il numero: h p(E) = _ n 446

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