2 - Le disposizioni e le combinazioni

DATI E PREVISIONI Esercizi da pag. 435 2 Le disposizioni e le combinazioni Le disposizioni di n elementi in k posti Quando ordiniamo gli elementi di un insieme, scrivendo così una loro permutazione, il numero dei posti è uguale al numero degli elementi: se vi sono n elementi, vi sarà un elemento al primo posto, un altro elemento al secondo posto e così via fino ad arrivare all ultimo elemento nell n-esimo posto. In alcune situazioni può tuttavia capitare che il numero dei posti sia inferiore al numero degli elementi. Se, per esempio, vi sono 7 concorrenti (A, B, C, D, E, F, G) che aspirano a 3 diversi posti di lavoro (autista, giardiniere, portiere), è necessario non soltanto ordinare (e cioè assegnare un posto agli elementi), ma anche fare delle scelte: occorre disporre gli elementi nei diversi posti, scartandone altri, e le scelte possibili sono numerose. Vogliamo generalizzare questo tipo di problema e trovare una formula che consenta di calcolare il numero delle scelte ordinate di n elementi da disporre in k posti, essendo k, n N e k n. KEYWORDS K disposizione / arrangement di DEFINIZIONE Si dice disposizione di n elementi in k posti ognuna delle scelte ordinate di k elementi tra gli n disponibili. Supponiamo di avere un insieme di 4 elementi A = {a, b, c, d} e di avere 2 posti in cui disporre gli elementi. Possiamo seguire un ragionamento analogo a quello seguito per le permutazioni, rappresentando con un albero tutte le scelte per il primo e il secondo posto. L albero sarebbe allora identico a quello formato dai primi due livelli di profondità dell albero già disegnato nel paragrafo precedente: scelte per il I posto scelte per il II posto a b c b d a c c d a b d d a b c Il numero di tutte le disposizioni di 4 elementi in 2 posti è allora 4 3 = 12. Esse sono: ab; ac; ad; ba; bc; bd; ca; cb; cd; da; db; dc Notiamo che scrivere ab è diverso da ba per l ordine di scelta. Il numero delle disposizioni di 4 elementi in 2 posti è il prodotto di 2 fattori (tanti quanti sono i posti): il primo fattore è 4 (le scelte possibili per l elemento al primo posto); il secondo fattore è 3 (le scelte possibili per il secondo posto). D altronde, poiché i posti disponibili, rappresentati dal valore k, sono soltanto due, consideriamo tutte le possibili scelte tra gli elementi di A che vadano a occupare proprio solo due posti. Questo significa che, per ogni scelta, solo due fra gli elementi dell insieme troveranno una collocazione, mentre gli altri due elementi risulteranno esclusi. 420

Il Maraschini-Palma - volume 4
Il Maraschini-Palma - volume 4