Il Maraschini-Palma - volume 4

8 Geometria analitica dello spazio Prendiamo in considerazione, per esempio, le equazioni x + 3y 2z + 1 = 0 e x + 2y 3z 1 = 0 e scriviamo il sistema per determinare le loro soluzioni comuni: x + 3y 2z + 1 = 0 { x + 2y 3z 1 = 0 Poiché i termini in x sono opposti è opportuno addizionare tra loro i termini delle due equazioni. x + 3y 2z + 1 = 0 { x + 2y 3z 1 = 0 _____________________ x = z 1 {y = z 5y 5z = 0 Le due equazioni trovate rappresentano, rispettivamente, due piani (il primo parallelo all asse y, perché la variabile y non compare nella corrispondente equazione e il secondo parallelo all asse x perché nella seconda equazione non compare la variabile x). Sostituendo in ognuna di esse alcuni valori a z (considerata in questo caso come un parametro) otteniamo le coordinate dei punti in comune ai due piani e quindi appartenenti a una retta: Q se z = 0 (x ; y ; z ) = ( 1 ; 0; 0) Q se z = 1 (x ; y ; z ) = ( 2 ; 1 ; 1) Q se z = 2 (x ; y ; z ) = ( 3 ; 2 ; 2) z Q ecc. APPROFONDIMENTO A A Analogamente a quanto avviene per le equazioni delle rette nel piano bidimensionale, quando uno dei coefficienti delle incognite è uguale a 0, allora il piano è parallelo all asse del riferimento corrispondente a quella incognita. Così in una equazione ax + by + cz + d = 0 Q se a = 0 il piano è parallelo all asse x; Q se b = 0 il piano è parallelo all asse y; Q se c = 0 il piano è parallelo all asse z; Q se a = b = 0 il piano è parallelo al piano coordinato xy; Q se a = c = 0 il piano è parallelo al piano coordinato xz; Q se b = c = 0 il piano è parallelo al piano coordinato yz; Q se d = 0 il piano passa per O. x y Per generalizzare quanto appena mostrato prendiamo due piani distinti e non paralleli di equazioni: ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 Il sistema formato con le due equazioni: ax + by + cz + d = 0 {a x + b y + c z + d = 0 è indeterminato perché il numero delle incognite supera il numero delle equazioni e quindi per determinare il valore di due di esse dovremo considerare la terza come un parametro; ne consegue che ci sono infinite soluzioni. Esse sono le coordinate di tutti e soli i punti che appartengono alla retta intersezione dei due piani. Nello spazio tridimensionale, perciò, la descrizione analitica di una retta è data attraverso le equazioni di due piani non paralleli. Il sistema fornisce pertanto le equazioni della retta nello spazio: ax + by + cz + d = 0 {a x + b y + c z + d = 0 Poiché i due piani considerati non devono essere paralleli, i vettori giacitura dei due piani non devono essere paralleli e quindi le due terne dei coefficienti (a ; b ; c) e (a ; b ; c ) non devono essere proporzionali. Occorre quindi aggiungere tale condizione: per ogni k R, (a ; b ; c ) k (a ; b ; c) FISSA I CONCETTI Equazioni di una retta nello spazio tridimensionale: ax + by + cz + d = 0 {a x + b y + c z + d = 0 389

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