L’equazione di un piano per tre punti

8 Geometria analitica dello spazio esempi O Determina l equazione del piano perpendicolare al vettore v = (+1 ; +1 ; +1) e passante per il punto P(1 ; 1 ; 1). Poiché il piano è perpendicolare al vettore v = (+1 ; +1 ; +1), si sostituiscono questi numeri ai coefficienti generici a, b, c. Abbiamo: 1x + 1y + 1z + d = 0 Poiché deve passare per il punto P(1 ; 1 ; 1), sostituiamo questi numeri alle variabili x, y, z. Otteniamo: 3 + d = 0 d = 3 L equazione del piano cercato è x + y + z 3 = 0. O Determina l equazione del piano di giacitura g = (+1; +1; +1) e passante per il punto P(1 ; 1 ; 1). Formulato in altro modo, è lo stesso esercizio dell esempio precedente. FISSA I CONCETTI Q Q Due piani di rispettive equazioni ax + by + cz + d = 0 e a x + b y + c z + d = 0 sono paralleli se e solo se: a : a = b : b = c : c Considerato il piano di equazione ax + by + cz + d = 0 il vettore g = (a ; b ; c) è il vettore giacitura, perpendicolare al piano stesso. L equazione di un piano per tre punti Nell unità precedente abbiamo enunciato l assioma (punti-rette-piani) che garantisce l esistenza di un solo piano passante per tre punti non allineati; cerchiamone l equazione. Se i punti P1(x1 ; y1 ; z1), P2(x2 ; y2 ; z2), P3(x3 ; y3 ; z3) devono appartenere al piano allora le loro coordinate devono essere tutte soluzioni di un equazione ax + by + cz + d = 0 ovvero: ax 1 + by 1 + cz 1 + d = 0 ax 2 + by 2 + cz 2 + d = 0 {ax 3 + by 3 + cz 3 + d = 0 Abbiamo così tre equazioni nelle quattro incognite a, b, c, d. Poiché il numero delle equazioni è minore di quello delle incognite il sistema, così come è scritto, è indeterminato. I coefficienti a, b, c, d risultano individuati a meno di un coefficiente di proporzionalità. Possiamo però diminuire il numero dei parametri dividendo tutte le equazioni per d, ottenendo: _ a b c x + _y + _z + 1 = 0 d 1 d 1 d 1 a b c _ x + _y + _z + 1 = 0 d 2 d 2 d 2 a b c _ x + _y + _z + 1 = 0 d 3 d 3 d 3 In questo modo risulta evidente che l equazione del piano dipende in realtà da tre a b c parametri che sono __, __, __. d d d Ciò corrisponde al fatto che per tre punti non allineati passa un solo piano e che, quindi, è possibile determinare l equazione con le tre rispettive condizioni di passaggio per essi. In pratica, come è evidente nel seguente esempio, nelle equazioni scritte poniamo un coefficiente (per esempio d) uguale a 1. 387

Il Maraschini-Palma - volume 4
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