Il Maraschini-Palma - volume 4

GEOMETRIA ATTENZIONE! A Ri Ricorda che nel piano, con riferimento cartesiano Oxy, l equazione di una retta passante per l origine è del tipo: ax + by = 0 Questa equazione può essere scritta in forma esplicita se b 0 come: a y = _ x b Nei tre piani con rispettivi riferimenti Oxy, Oxz e Oyz le rette passanti per l origine hanno quindi le equazioni indicate a lato. Sui piani le rette hanno perciò equazioni: r: a1x + b1y = 0 s: a2x + b2z = 0 t: a3y + b3z = 0 Preso un punto P(x ; y ; z) del piano di cui cerchiamo l equazione, la sua proiezione su ciascuno dei piani coordinati appartiene rispettivamente alle rette r, s, t. Quindi, le sue coordinate verificano ognuna delle tre equazioni e, di conseguenza, anche quella che si ottiene sommando i loro termini: (a1x + b1y) + (a2x + b2z) + (a3y + b3z) = 0 (a1 + a2)x + (b1 + a3)y + (b2 + b3)z = 0 Scrivendo a, b, c al posto delle espressioni tra parentesi (che nei casi particolari sono numeri reali), otteniamo l equazione: ax + by + cz = 0 che rappresenta perciò l equazione di un piano passante per l origine. esempi O Determina le equazioni dei tre piani coordinati xy, xz, yz. I punti del piano xy sono tutti quelli che hanno quota nulla; l equazione del piano xy è pertanto: z = 0. Analogamente l equazione del piano xz è y = 0. Quella del piano yz è x = 0. O Determina nei rispettivi riferimenti cartesiani Oxy e Oxz le equazioni delle rette r e s intersezioni, rispettivamente dei piani coordinati xy e yz con il piano di equazione 2x y + z = 0. z s O PROVA TU P In relazione all esempio qui a lato qual è l equazione della retta intersezione del piano 2x y + z = 0 con il piano coordinato xz? Disegnala. FISSA I CONCETTI Equazione di un piano per l origine: ax + by + cz = 0 382 x r y Poiché il piano coordinato xy ha equazione z = 0, sostituendo nell equazione ricaviamo 2x y = 0. Nel riferimento piano Oxy l equazione della retta è perciò y = 2x. Il piano coordinato yz ha equazione x = 0, sostituendo nell equazione otteniamo y + z = 0 e la retta s, nel riferimento piano Oxz, ha equazione y = z.

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