Il Maraschini-Palma - volume 4

GEOMETRIA z b. I punti hanno entrambi quota 3. Se consideriamo quindi il piano parallelo al piano xy e formato da tutti i punti a quota 3, essi vi appartengono. La loro distanza può allora essere misurata su questo stesso piano, applicando la formula della distanza tra due punti nel piano. _________________ _ 2 2 d(R, S) = (2 3) + (7 ( 1)) = 65 T U R c. I due punti, poiché hanno uguale ascissa e uguale ordinata, appartengono a una retta parallela all asse z. Su tale retta la loro distanza (come nel caso a.) è direttamente data dal valore assoluto della differenza delle loro quote: S O y d (T, U) = |4 6| = 2 x Consideriamo ora, in un riferimento cartesiano nello spazio tridimensionale, due punti P1(x1 ; y1 ; z1) e P2(x2 ; y2 ; z2). Vogliamo determinare la loro distanza anche nei casi in cui essi non siano in posizioni particolari rispetto agli assi e, in particolare, non abbiano uguali né le ascisse né le ordinate né le quote. Per far ciò, consideriamo il parallelepipedo che ha questi due punti come vertici opposti e ognuna delle facce parallela a uno dei piani coordinati. z P1 P2 A O B y x Poiché consideriamo un parallelepipedo che ha ogni faccia parallela a uno dei piani coordinati, possiamo calcolare le distanze tra punti appartenenti a questi piani utilizzando la formula della distanza tra due punti nel piano. La distanza tra P1 e P2 è la lunghezza del segmento P1P2 che, utilizzando le lettere indicate in figura, risulta essere l ipotenusa del triangolo rettangolo AP1P2. Perciò, per il teorema di Pitagora: ____________ 2 ¯ ¯ P2 2 d(P 1, P 2) = A P 1 + A A sua volta, il segmento AP2 è l ipotenusa del triangolo rettangolo ABP2 e perciò, ancora per il teorema di Pitagora: ¯ ¯2 ¯ A P2 2 = B P 2 2 + AB Complessivamente: __________________ ¯ ¯2 ¯ P1 2 + B P 2 2 + AB d(P 1, P 2) = A D altra parte: ¯ B P 2 = |x2 x1| ¯ = |y2 y1| AB ¯ A P 1 = |z2 z1| Sostituendo abbiamo: _________________________________ d(P1 , P2) = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2 che è la formula per la distanza tra due punti nello spazio tridimensionale. 380

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