Il Maraschini-Palma - volume 4

7 ESERCIZI Geometria dello spazio 7 L equiestensione dei solidi Teoria da pag. 349 PER FISSARE I CONCETTI Enuncia il principio di Cavalieri. 156 LESSICO 158 157 ARGOMENTA Come si calcola il volume della piramide? E quello dei solidi di rotazione elementari? DIMOSTRA che due prismi di uguale altezza e basi equiestese sono equiestesi. PER ESERCITARSI CON GRADUALIT esercizio svolto Dimostra che due parallelepipedi sono equiestesi se e solo se le loro basi (comunque siano scelte) hanno aree inversamente proporzionali alle loro altezze. Siano A1, h1, V1 e A2, h2, V2, rispettivamente l area di base, l altezza e il volume di due parallelepipedi. Abbiamo: V1 = A1 h1 V2 V1 h2 V2 = A2 h2 h1 Se i due parallelepipedi sono equiestesi, hanno lo stesso voA2 lume; possiamo scrivere quindi: A1 A h V1 = V2 A1 h1 = A2 h2 ___1 = __2 A2 h1 cioè le aree delle loro basi sono inversamente proporzionali alle loro altezze. Viceversa, se le aree delle basi dei parallelepipedi sono inversamente proporzionali alle loro altezze, possiamo scrivere: h A1 __ ___ = 2 A1 h1 = A2 h2 V1 = V2 A2 h1 I parallelepipedi sono quindi equiestesi. 159 Determina il volume del cubo circoscritto a una sfera di raggio r. [8r3] 160 Dato un cubo di spigolo l, determina lo spigolo del cubo che ha volume doppio di quello dato (proble_ 3 [l1 = 2 l] ma della «duplicazione del cubo ). 161 Dato un segmento di lunghezza a, considera il pa- rallelepipedo avente come dimensioni a, il suo doppio e il suo quadruplo. Dimostra che tale parallelepipedo è equiesteso a un cubo di spigolo 2a. 162 Determina il volume di un prisma retto a base esa- gonale regolare di lato l che abbia ogni faccia laterale equivalente alla base. 27 3 ___ [4 l] 163 Dato un tetraedro qualunque, considera tutti i pa- rallelepipedi individuati da tre suoi qualunque spigoli convergenti in un suo vertice. Quanti sono tali parallelepipedi? In quale caso sono equiestesi? [4, nel caso di un tetraedro regolare] 164 Di un parallelepipedo si hanno queste informa- zioni: ha come base un rettangolo; le dimensioni della base sono a e b; una diagonale del parallelepipedo misura d. Il parallelepipedo è univocamente determinato? Quali sono il volume minimo e il volume massimo di un parallelepipedo rispondente a queste caratteristiche? ________ [Vmax = ab d2 a2 b2 ] 165 Dimostra che un parallelepipedo rettangolo le cui dimensioni siano in progressione geometrica è equiesteso a un cubo il cui spigolo è la media aritmetica di queste tre dimensioni. 166 Di un parallelepipedo si hanno queste informa- zioni: ha come base un rettangolo; le dimensioni della base sono a e b; le diagonali del parallelepipedo sono tutte tra loro congruenti e misurano d. Il parallelepipedo è univocamente determinato? Qual è il suo volume? _______ [V = ab d2 a2 b2 ] 371

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