Il Maraschini-Palma - volume 4

7 89 Dimostra che le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono tra loro congruenti. 90 Determina il luogo dei baricentri dei triangoli che siano sezioni parallele di un prisma triangolare in[retta parallela agli spigoli passante per il definito. baricentro di una sezione qualsiasi] 91 Dimostra che le congiungenti i centri delle facce opposte di un parallelepipedo passano per il centro del parallelepipedo. 92 Dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinché un prisma quadrangolare sia un parallelepipedo è che abbia le facce opposte congruenti. 93 Dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinché un prisma quadrangolare sia un parallelepipedo è che abbia i diedri opposti congruenti. 94 Dimostra che condizione sufficiente affinché un poliedro a sei facce sia un parallelepipedo è che le diagonali passino per uno stesso punto e in esso si bisechino. 95 96 97 Dimostra che condizione sufficiente affinché un parallelepipedo sia rettangolo è che le sue diagonali siano congruenti. Dimostra che in un tetraedro isoscele (vedi esercizio 86) le rette individuate dai punti medi degli spigoli tra loro opposti sono perpendicolari. Dimostra che i piani passanti per i vertici di un tetraedro regolare e paralleli alle facce opposte a tali vertici sono le facce di un altro tetraedro regolare. 98 Determina i piani di simmetria di un cubo. 99 Determina i piani di simmetria di un parallelepipedo. 100 Determina i piani di simmetria di un parallelepi- pedo rettangolo. 101 Determina i piani di simmetria di una piramide retta a base quadrata. 102 Determina i piani di simmetria di una piramide retta avente come base un triangolo. Distingui i casi a seconda che il triangolo di base sia scaleno, isoscele o equilatero. 103 Determina la forma della sezione di un tetraedro regolare con un piano passante per i punti medi di [triangolo equilatero di lato metà suoi tre spigoli. spigolo del tetraedro] Geometria dello spazio ESERCIZI 104 Determina la forma della sezione di un parallele- pipedo di base ABCD con un piano passante per il suo spigolo di estremo A e non appartenente alla base e per il punto medio dello spigolo CD. [rettangolo di lati lo spigolo di estremo A e non appartenente __________ CD2 alla base e spigolo di lunghezza AD2 + ____ ] 4 105 In un tetraedro si scelgono due dei sei spigoli tra loro sghembi. Dimostra che la figura che ha per vertici i punti medi degli altri quattro spigoli è un quadrilatero piano. 106 In un tetraedro regolare si scelgono due dei suoi spigoli tra loro sghembi. Dimostra che la figura che ha per vertici i punti medi degli altri quattro spigoli è un quadrato. 107 Verifica la validità della relazione di Eulero per l icosaedro regolare. 108 Stabilisci qual è il poliedro regolare che ha come vertici i centri delle facce dell icosaedro regolare. [dodecaedro] 109 Dimostra che i punti medi degli spigoli di un tetra- edro regolare sono i vertici di un ottaedro regolare. 110 Dimostra che la sezione di un cubo di base ABCD con un piano passante per A, per C e per l altro estremo dello spigolo che esce da D (non appartenente alla base) è un triangolo equilatero. 111 In un cubo di base ABCD si considera il piano passante per i punti medi di AB, BC e dello spigolo di vertice A non appartenente alla base. Dimostra che la sezione del cubo con è un esagono regolare. 112 Dimostra che la diagonale della faccia di un cubo è perpendicolare al piano individuato dall altra diagonale e dalla diagonale parallela a quest ultima sulla faccia opposta. 113 Dimostra che in ogni poliedro il numero degli an- goli delle facce è il doppio del numero degli spigoli. 114 Dimostra l equivalenza delle seguenti proposizioni: a. gli spigoli laterali di una piramide sono congruenti; b. le facce laterali di una piramide formano angoli congruenti con la sua base; c. si può circoscrivere una circonferenza alla base della piramide e l altezza della piramide ha il suo piede nel centro della circonferenza. 367

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