Il Maraschini-Palma - volume 4

7 ESERCIZI Geometria dello spazio 2 L incidenza e il parallelismo nello spazio euclideo Teoria da pag. 320 PER FISSARE I CONCETTI 22 ARGOMENTA Quali sono le posizioni reciproche tra rette nello spazio? 23 Quali sono le posizioni reciproche tra piani nello spazio? Che cos è una giacitura? 24 ARGOMENTA 25 Date due rette sghembe, quanto sono i piani contenenti l una e paralleli all altra? ARGOMENTA PER ESERCITARSI CON GRADUALIT esercizio svolto Dimostra che, se due rette sono parallele, allora ogni piano incidente a una delle due rette è incidente anche all altra. Ip: r // s, s = P Ts: r = Q Consideriamo le due rette parallele r, s e il piano incidente s nel punto P. Supponiamo per assurdo che non incida r; si hanno allora due casi: o la retta r è parallela al piano oppure è contenuta interamente in esso. Nel primo caso, essendo s parallela a r (per ipotesi) e r parallela ad , anche s risulta parallela ad , contrariamente all ipotesi che sia incidente. Nel secondo caso, essendo s parallela a r (per ipotesi) e r contenuta in , per il teorema (parallelismo retta-piano) è anche s parallela ad , ancora in contraddizione con l ipotesi che sia incidente. In entrambi i casi siamo giunti a una contraddizione; pertanto la tesi è dimostrata. 26 Dimostra che tre piani distinti individuano al massimo otto regioni dello spazio convesse (una regione dello spazio si dice convessa se, comunque presi due punti distinti al suo interno, il segmento che li unisce è tutto interno alla regione stessa). In quali casi le regioni individuate sono meno di otto? 27 Dimostra che due rette distinte hanno al più un punto in comune. 28 Dimostra che due piani distinti hanno al più una retta in comune. 29 Dimostra che se una retta r interseca due rette sghembe in due punti A e B e una retta s interseca le stesse due rette in altri due punti C e D, allora r e s sono sghembe. 34 r s P 30 Mostra che la condizione per cui due rette parallele di un piano sono parallele ad altre due rette di un piano non è sufficiente per stabilire che e sono paralleli. 31 Dimostra che se una retta è parallela a un piano e è parallelo a un piano , allora se la retta non giace su gli è parallela. 32 Dimostra che, data una retta r parallela a un piano , se una retta s è parallela a r e ha un punto in comune con , allora s giace su . 33 Dimostra che, dati un piano e un punto P che non gli appartiene, il piano individuato da due rette passanti per P e parallele ad è parallelo ad . [ ] INVALSI 2019 Nello spazio sono dati due piani, e , che si intersecano in una retta r. Indica se ciascuna delle [ ] seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V F a. Una retta s che non interseca la retta r necessariamente interseca almeno uno dei due piani. b. Considera sul piano il punto A non appartenente alla retta r. Una retta s, che passa per A V F e interseca r, giace sul piano . V F c. Un piano che non interseca la retta r interseca almeno uno dei due piani e . 363

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