Il Maraschini-Palma - volume 4

7 Geometria dello spazio Esercizio Obiettivo 4. Dimostra che se l intersezione tra una retta r e un piano non è vuota, Paragrafo 3 allora su quel piano esiste almeno una retta perpendicolare a r. Definire la relazione di perpendicolarità tra retta e piano. Dimostrare il teorema delle tre perpendicolari. Dimostrare che due piani perpendicolari alla stessa retta sono paralleli. 5. Determina quale figura dello spazio formano tutti e soli i punti dello spazio che non appartengono ad alcuno dei piani che hanno distanza r da un punto P. 6. Aiutandoti eventualmente con due fogli di carta (di cui uno opportunamente piegato in modo da simulare un diedro), mostra che se la sezione di un piano con un diedro è un angolo retto, non necessariamente il diedro è retto. 7. Determina la somma delle ampiezze dei diedri interni di un cubo. 8. Un prisma indefinito è generato da un poligono regolare di n lati, per traslazione secondo una direzione perpendicolare al piano su cui giace il poligono. Qual è la somma delle ampiezze dei suoi diedri interni? SINTESI ATTIVA Paragrafo 4 Definire la congruenza di figure nello spazio. Individuare simmetrie nello spazio. Definire la relazione di perpendicolarità tra piani. Individuare geometricamente l angolo tra due piani incidenti. Individuare geometricamente l angolo tra una retta e un piano. 9. In quante piramidi viene diviso un parallelepipedo dalle sue diagonali? Paragrafo 5 10. L analogo del poliedro, nel piano, è il poligono che ha sempre una Definire e analizzare gli oggetti dello spazio tridimensionale. Identificare le figure solide con facce poligonali (prismi, piramidi e poliedri) e stabilirne le proprietà generali. Dimostrare la relazione di Eulero per i poliedri. sola faccia. Indicando con f il numero delle facce, con v il numero dei vertici e con l il numero dei lati, determina nel piano una relazione tra questi numeri, costante per ogni poligono, analoga a quella di Eulero per i poliedri. 11. Determina il numero di facce, di vertici e di spigoli di un prisma con base pentagonale e verifica la relazione di Eulero. 12. Unendo per una faccia due tetraedri regolari si ottiene un poliedro che ha come facce sei triangoli equilateri. un poliedro regolare? Perché? 13. Stabilisci di che tipo sono i solidi di cui si hanno le seguenti informazioni: a. sezionandolo con piani, comunque inclinati, si ottengono sempre Paragrafo 6 14. Quale delle seguenti affermazioni sono vere relativamente al principio Paragrafo 7 delle circonferenze; b. sezionandolo con piani, opportunamente inclinati, si possono ottenere o delle ellissi o delle circonferenze; c. sezionandolo con piani, opportunamente inclinati, si possono ottenere delle parabole. di Cavalieri? a. Se ogni piano di un fascio di piani paralleli interseca due solidi in figure piane equiestese, allora i due solidi sono equiestesi. b. Se ogni piano di un fascio di piani paralleli interseca due solidi in figure piane equiestese, allora i due solidi sono equiscomponibili. 15. Calcola il volume di una piramide la cui base è un triangolo equilatero di lato l e le cui facce laterali formano tutte un diedro di ampiezza 60° con il piano di base. Definire le figure solide generate per rotazione. Determinare il volume di prismi, piramidi e solidi di rotazione elementari. Puoi trovare le soluzioni a fondo volume 361

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