Il volume di un cilindro e il volume di un cono

7 Geometria dello spazio I teoremi precedenti permettono di determinare anche se spesso non è facile il volume di un qualsiasi poliedro perché è possibile scomporlo in tante piramidi a partire da uno qualsiasi dei suoi vertici V: basta tracciare tutti i piani individuati da V e dagli altri due vertici non adiacenti del poliedro, presi a due a due. FISSA I CONCETTI V Il volume di un cilindro e il volume di un cono Il principio di Cavalieri si applica immediatamente anche al cilindro e al cono, con due teoremi del tutto analoghi a quelli stabiliti per il prisma e per la piramide. TEOREMA (equiestensione dei cilindri) Due prismi di uguale altezza e basi equiestese sono equiestesi. Due piramidi di uguale altezza e basi equiestese sono equiestese. Un prisma è equiesteso al triplo di una piramide con base congruente e uguale altezza. Volume del parallelepipedo rettangolo: V=a b c Volume del cubo: V = l3 Volume del prisma: V=A h Volume della piramide: 1 V = __A h 3 Il cilindro è equiesteso a un prisma di uguale altezza e con base equiestesa. Ne consegue che: volumecilindro = area del cerchio altezza = r 2 h essendo r il raggio della sua base e h la sua altezza. TEOREMA (equiestensione di coni) FISSA I CONCETTI Un cono è equiesteso a una piramide di uguale altezza e con base equiestesa. Ne consegue che: 1 volumecono = __ r 2 h 3 essendo r il raggio della sua base e h la sua altezza. Ogni cilindro è equiesteso a un prisma di uguale altezza e con base equiestesa. Un cono è equiesteso a una piramide di uguale altezza e con base equiestesa. Volume del cilindro: V = r 2 h 1 Volume del cono: V = __ r 2 h 3 Il volume della sfera Ben più complesso è ricavare la formula per il volume di una sfera. Un procedimento storicamente importante è dovuto al matematico Luca Valerio vissuto nel XVI secolo. Egli considerò tre particolari solidi: un cilindro con altezza uguale al raggio r del cerchio di base; la semisfera inscritta in tale cilindro; il cono inscritto in tale cilindro, avente il vertice nel centro della semisfera. r r r r r r a. r b. c. 353

Il Maraschini-Palma - volume 4
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