Il Maraschini-Palma - volume 4

GEOMETRIA Le tre parti così ottenute sono tre piramidi tra loro equiestese. E D E F D F A F D F A C A A B C B C Infatti: Q ABCF è equiestesa a ADEF avendo altezza uguale (è quella del prisma) e basi congruenti perché ABC e EFD sono le basi del prisma; Q ACDF è equiestesa a ADEF, avendo anch esse altezza uguale e basi congruenti. Infatti, le loro basi ADE e ACD sono i due triangoli in cui la diagonale AD divide il parallelogramma ACDE e pertanto sono congruenti e giacciono sullo stesso piano. Inoltre, le due piramidi hanno il vertice F in comune e, quindi, hanno la stessa altezza; Q ABCF è allora equiesteso a ACDF per la proprietà transitiva della relazione di equiestensione. Quindi, un qualunque prisma a base triangolare è il triplo di una piramide con base congruente e uguale altezza. Se poi consideriamo un prisma avente per basi un qualsiasi poligono, possiamo scomporre le basi in tanti triangoli e il prisma risulterà composto da più prismi a base triangolare, per i quali il teorema è stato ora dimostrato. c.v.d. Lezione INTERATTIVA Suddivisione del prisma Il teorema dell equiestensione tra prismi e piramidi ci permette di ottenere la formula per il calcolo del volume di una piramide: è un terzo di quello del corrispondente prisma: 1 1 volumepiramide = __ area di base altezza = __ A h 3 3 essendo A l area della sua base e h la sua altezza. esempio V l A H O Determina il volume di un tetraedro regolare di lato l. Ogni faccia del tetraedro può essere considerata come sua base ed è un trian__ 3 l____ golo equilatero di base . La sua area è, quindi: __ l e altezza 2 3 area di base = l2 ___ 4 L altezza del tetraedro può essere calcolata con il teorema di Pitagora appli¯ è pari ai due cato al triangolo AVH (vedi figura a lato) e tenendo conto che AH terzi dell altezza del triangolo equilatero: Otteniamo: _____________ __ 2 __ 3 2 ¯ = l 2 _2_ ___ altezza = VH l = __ l (3 2 ) 3 __ 1 l2 3 Il volume del tetraedro è, quindi, __ ____ 3 352 4 __ __ 2 3 _2_ l = ___ l 3 12

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