Il volume del prisma e il volume della piramide

7 Geometria dello spazio Il volume del prisma e il volume della piramide Possiamo ora ricavare due importanti proprietà, rispettivamente dei prismi e delle piramidi le cui dimostrazioni sono rinviate agli Approfondimenti online. TEOREMA (equiestensione dei prismi) Due prismi di uguali altezze e con basi equiestese sono equiestesi. ATTENZIONE! A L L equiestensione stabilisce una relazione di equivalenza all interno dell insieme delle figure solide. infatti, riflessiva (ogni solido è equiesteso a sé stesso), simmetrica (se un solido S è equiesteso al solido T vale ovviamente anche il viceversa, transitiva (se S è equiesteso a T e questo lo è rispetto a un altro solido V, allora anche S e V sono equiestesi). Tra i prismi gioca un ruolo particolare il parallelepipedo rettangolo, che può essere pensato come generato da una delle sue facce rettangolari (la cui area è il prodotto delle lunghezze dei lati, per esempio a e b) traslandola perpendicolarmente secondo un vettore lungo quanto l altro spigolo (per esempio, c). c a b Quindi: volume parallelepipedo rettangolo = area di base altezza = a b c In particolare, il volume del cubo di spigolo l è allora l l l = l 3 Per il teorema precedente, un qualsiasi prisma è equiesteso al parallelepipedo rettangolo che ha la stessa altezza e la base equiestesa. Quindi, il suo volume è dato da: volume prisma = area di base altezza = A h essendo A l area della sua base e h la sua altezza. Il seguente teorema, la cui dimostrazione è rinviata agli Approfondimenti online, stabilisce l equiestensione di due piramidi aventi uguale altezza e basi equiestese. TEOREMA (equiestensione delle piramidi) Due piramidi di uguale altezza e con basi equiestese sono equiestese. Un ulteriore teorema, che dimostriamo qui di seguito, permette di trovare una formula per il calcolo del volume di una piramide. Approfondisci La de nizione di equiestensione e di volume Dimostrazione del teorema (equiestensione delle piramidi) TEOREMA (equiestensione tra prismi e piramidi) Un prisma è equiesteso al triplo di una piramide con base congruente e di uguale altezza. Dimostrazione Consideriamo dapprima un prisma a base triangolare ABCDEF. Dividiamolo in tre parti, sezionandolo con il piano ACF (individuato dalle diagonali AF e FC) e con il piano ADF (individuato dalle diagonali AD e AF). E F D A C B 351

Il Maraschini-Palma - volume 4
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