Il Maraschini-Palma - volume 4

GEOMETRIA Mentre la relazione di Eulero vale per qualunque poliedro convesso, il teorema che ora dimostreremo si applica soltanto ai poliedri cosiddetti regolari, che sono definiti in modo analogo a come nel piano sono definiti i poligoni regolari. DEFINIZIONE Chiamiamo poliedro regolare un poliedro avente come facce poligoni regolari tra loro congruenti e i cui diedri hanno tutti uguale ampiezza. Nel piano, qualunque sia il numero naturale n 3, esiste sempre un poligono regolare di n lati: per n = 3 è il triangolo equilatero, per n = 4 è il quadrato, per n = 5 è il pentagono regolare e così via. Nello spazio, invece, come ora dimostreremo, vi sono soltanto cinque tipi di poliedri regolari. TEOREMA (esistenza di poliedri regolari) Esistono esattamente cinque tipi di poliedri regolari. KEYWORDS K te tetraedro / tetrahedron ottaedro / octahedron icosaedro / icosahedron esaedro / hexahedron dodecaedro / dodecahedron Tetraedro: ha come facce 4 triangoli equilateri Ottaedro: ha come facce 8 triangoli equilateri Icosaedro: ha come facce 20 triangoli equilateri Cubo (o esaedro): ha come facce 6 quadrati Dodecaedro: ha come facce 12 pentagoni regolari Dimostrazione Osserviamo innanzitutto che in ogni vertice di un poliedro debbono convergere almeno tre facce e che, per quanto osservato nel paragrafo 4 (esempio di pagina 334), la somma delle ampiezze degli angoli dei poligoni che convergono in ogni vertice deve essere minore di 360°. Dimostriamo il teorema per parti, aumentando via via il numero dei lati delle facce. a. Vi sono solo tre tipi di poliedri regolari aventi come facce triangoli equilateri. Infatti: 1° poliedro. possibile che in ogni vertice convergano 3 facce. Infatti, gli angoli di un triangolo equilatero misurano ognuno 60°. Poiché 3 60° = = 180° < 360°, è soddisfatta la condizione sulla somma delle ampiezze delle facce di un angoloide. Tale poliedro esiste ed è chiamato tetraedro regolare. 2° poliedro. possibile che in ogni vertice convergano 4 facce. Infatti, anche in tale caso è soddisfatta la condizione sulla somma delle ampiezze delle facce di un angoloide, perché 4 60° = 240° < 360°. Tale poliedro esiste ed è chiamato ottaedro, perché ha otto facce. 3° poliedro. possibile che in ogni vertice convergano 5 facce. Infatti, anche in tale caso, è soddisfatta la condizione sulla somma delle ampiezze delle facce di un angoloide, perché 5 60° = 300° < 360°. Tale poliedro esiste ed è chiamato icosaedro: esso ha 20 facce triangolari. Infine, è impossibile che in ogni vertice convergano sei o più facce triangolari equilatere. Con sei facce, infatti, la somma delle ampiezze delle facce triangolari sarebbe 360°: i sei triangoli equilateri giacciono su uno stesso piano. 340

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