I piani perpendicolari e l’angolo di due piani

7 Geometria dello spazio I piani perpendicolari e l angolo di due piani Per quanto ora visto, una traslazione trasforma piani in piani paralleli e, inoltre, due piani paralleli si corrispondono sempre in infinite traslazioni. Ciò è alla base del seguente teorema: TEOREMA (congruenza di sezioni parallele) Le sezioni parallele di uno stesso diedro sono angoli congruenti. Dimostrazione Nel diedro r consideriamo le sue sezioni con due piani tra loro paralleli e e indichiamo rispettivamente con C e C i vertici di queste due sezioni. Consideriamo la traslazione di vettore CC ; in tale traslazione all angolo di vertice C (la prima delle due sezioni) corrisponde l angolo di vertice C (la seconda sezione). I due angoli, corrispondendosi in una traslazione, sono congruenti. c.v.d. r C v C TEOREMA (congruenza di sezioni normali) Le sezioni normali di uno stesso diedro sono angoli tra loro congruenti. Dimostrazione Per il teorema di unicità del piano perpendicolare, due piani perpendicolari alla stessa retta sono tra loro paralleli. Due sezioni normali dello stesso diedro sono perciò tra loro parallele e quindi, in base al teorema precedente, sono angoli congruenti. c.v.d. Si definisce ampiezza del diedro l ampiezza della sua sezione normale. Ciò è giustificato dal fatto che le sezioni normali di un diedro sono tutte congruenti e hanno, per così dire, una posizione ben determinata. Un diedro la cui ampiezza è un angolo retto è a sua volta chiamato diedro retto. Possiamo allora dare questa definizione della relazione di perpendicolarità tra piani. FISSA I CONCETTI DEFINIZIONE Due piani incidenti si dicono perpendicolari se formano quattro diedri retti. Sostanzialmente, l inclinazione reciproca di due piani incidenti è misurata considerando un piano perpendicolare ai due ovvero perpendicolare allo spigolo (che individua le sezioni normali dei quattro diedri formati dai due piani). Su tale piano perpendicolare, le due rette intersezione formano quattro angoli, a due a due congruenti perché opposti al vertice; quando queste due rette sono perpendicolari, i piani sono perpendicolari. Più in generale, per angolo (concavo) di due piani non paralleli intenderemo allora la minore tra le due sezioni normali del diedro che essi individuano. Nello spazio vi sono tre relazioni di perpendicolarità: perpendicolarità retta-retta; perpendicolarità retta-piano; perpendicolarità piano-piano. Le sezioni parallele di uno stesso diedro sono angoli tra loro congruenti. Le sezioni normali di uno stesso diedro sono angoli tra loro congruenti. Ampiezza di un diedro: l ampiezza della sua sezione normale. Due piani incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro diedri retti. L angolo retta-piano Il criterio per misurare l inclinazione reciproca di due oggetti nello spazio attraverso l angolo che si determina su un piano perpendicolare è utilizzato anche per definire l angolo tra una retta e un piano. 331

Il Maraschini-Palma - volume 4
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