Il Maraschini-Palma - volume 4

GEOMETRIA Quindi, analogamente a quanto fatto nel piano euclideo, diremo che due sottoinsiemi dello spazio (cioè due figure) sono congruenti se esiste una isometria nella quale esse si corrispondono. r r v La traslazione è un esempio di isometria che trasforma una figura in un altra a essa congruente, completamente individuata da un vettore. Il vettore, anche se ora è ambientato nello spazio tridimensionale, ha la stessa definizione e lo stesso significato che ha nell ambiente piano: esso è individuato da un modulo, una direzione e un verso. Se per esempio effettuiamo una traslazione nello spazio, una retta si trasforma in una retta parallela. Infatti, una retta r e un vettore v individuano un piano e già sappiamo che, nel piano, una retta, traslata, si trasforma in una retta parallela. esempi O Dimostra che, in una traslazione nello spazio tridimensionale, a un piano corrisponde un piano e i due piani sono paralleli. Puoi seguire questa traccia, completando le parti lasciate in sospeso: Q consideriamo un piano e un vettore v; Q Q Q Q Q se il vettore giace sul piano, allora ................................................................................ se il vettore non giace sul piano, consideriamo tre punti non allineati A, B, C ; indichiamo con A , B , C i loro punti corrispondenti; i punti A , B , C individuano un piano , perché? ............................................................. consideriamo un qualunque punto P e chiamiamo P il suo corrispondente nella traslazione. Questo punto appartiene necessariamente al piano APA (perché la traslazione mantiene il parallelismo tra rette), al piano BPB , al piano CPC . Il punto P appartiene perciò al piano A B C . quindi dimostrato che a un piano corrisponde un piano; indichiamo con il piano A B C . Occorre dimostrare che // . Per fare ciò, consideriamo che la traslazione muta rette in rette parallele e che due direzioni individuano una giacitura (vedi ultimo esempio del par. 2). ........................................................................................................................ O Dati due piani paralleli e , come possiamo determinare un vettore che fa corrispondere ad il piano ? unica tale traslazione? Esistono infinite traslazioni che fanno corrispondere a un piano un suo piano parallelo. Basta considerare una qualunque retta non parallela ai due piani e, su di essa, il segmento compreso tra tali piani. Opportunamente orientato, tale segmento è il rappresentante di un vettore che determina la traslazione (qualunque altro segmento intercettato su una retta parallela a quella scelta ha la sua stessa lunghezza perché, nel piano formato dalle due rette, i due segmenti sono lati opposti di un parallelogramma). FISSA I CONCETTI Figure congruenti: esiste una isometria in cui si corrispondono. 330

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