Il teorema delle tre perpendicolari

GEOMETRIA cessario e sufficiente accertarsi che essa sia perpendicolare a due rette di tale piano passanti per il punto di intersezione tra r e . PROVA TU P C Considera la relazione di perpendicolarità tra rette nei due ambienti: il piano euclideo e lo spazio euclideo. a. Vale la proprietà riflessiva, nel piano o nello spazio? b. Vale la proprietà simmetrica, nel piano o nello spazio? c. Vale la proprietà transitiva, nel piano o nello spazio? FISSA I CONCETTI Q Q Q Le rette perpendicolari a una retta r in un suo punto P individuano un piano. Fissato un punto su una retta, tutte e sole le rette perpendicolari a essa in quel punto appartengono allo stesso piano. Una retta e un piano, con un punto in comune, si dicono perpendicolari se tutte le rette del piano passanti per quel punto sono perpendicolari alla retta. Abbiamo così considerato la relazione di perpendicolarità tra rette e tra retta e piano. Rimane da definire, e lo faremo formalmente nel prossimo paragrafo, la relazione di perpendicolarità tra piani. esempio O Sappiamo che una retta r è perpendicolare a una retta s del piano . sufficiente questa informazione per stabilire che r è perpendicolare al piano ? L informazione che una retta è perpendicolare a una retta di un piano non garantisce che la retta sia perpendicolare al piano stesso, come puoi verificare con un foglio di carta (il tuo piano ) su cui hai tracciato la retta s e una matita (retta r) posta perpendicolarmente a s. Puoi osservare che ruotando il foglio attorno alla retta s le due rette r e s restano perpendicolari, ma certamente non lo sono la retta r e il piano . s s r r Il teorema delle tre perpendicolari TEOREMA (delle tre perpendicolari) Se si presenta questa situazione: Q r è una retta perpendicolare a un piano in un suo punto P; Q s è una retta del piano passante per P; Q t è una retta del piano perpendicolare a s; allora t è perpendicolare al piano formato da r e s. Dimostrazione Distinguiamo due casi: a. la retta t passa per il punto P. b. la retta t non passa per P. a. In tale caso la dimostrazione è immediata perché r è perpendicolare a t (in quanto t e passa per P) r e quindi t, essendo perpendicolare alle due rette r e s, è perpendicolare al piano s P formato da esse (vedi teorema delle perpendicolari complanari). t 326

Il Maraschini-Palma - volume 4
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