Le posizioni reciproche di due rette nello spazio

7 Geometria dello spazio Le posizioni reciproche di due rette nello spazio Due rette distinte dello spazio possono giacere sullo stesso piano oppure no; se giacciono sullo stesso piano si dicono complanari. Le possibili posizioni reciproche sul piano di una coppia di rette sono due: o sono incidenti (hanno esattamente un punto in comune) oppure sono parallele (e allora, se non coincidono, non hanno alcun punto in comune). Due rette non complanari non hanno invece alcun punto in comune perché, se lo avessero, individuerebbero un piano (vedi assioma punti-rette-piani c.) e sarebbero, quindi, complanari. Due rette non complanari vengono dette sghembe. complanari rette sghembe KEYWORDS K re complanari / coplanar lines rette rette sghembe / crooked lines s incidenti parallele Quindi per due rette con intersezione vuota sono possibili nello spazio due diverse situazioni: o sono parallele (allora esiste un piano a cui appartengono e hanno la stessa direzione) oppure sono sghembe (allora non esiste un piano a cui appartengono e hanno direzioni diverse). P r esempio O La relazione «essere sghembe nell insieme delle rette dello spazio è una relazione di equivalenza? (vedi figura a lato) r La relazione «essere sghembe tra rette dello spazio: Q non è riflessiva (perché ogni retta è complanare con sé stessa); Q è simmetrica (perché se una retta r non ha alcun piano in comune con una retta s è pure vero il viceversa); Q non è transitiva (può accadere una situazione come quella in figura, in cui r è sghemba con s ed s è sghemba con t, ma r e t sono complanari). s t L «essere sghembe non è quindi una relazione d equivalenza. A differenza della relazione «essere sghembe , quella di parallelismo tra rette dello spazio è, invece, di equivalenza (così come lo è la relazione di parallelismo tra rette del piano).Vale il seguente teorema, la cui dimostrazione è negli Approfondimenti online. TEOREMA (rette parallele) La relazione di parallelismo tra rette nello spazio è una relazione di equivalenza. Approfondisci Dimostrazione del teorema (rette parallele) FISSA I CONCETTI Rette complanari: giacciono sullo stesso piano; possono essere: Q incidenti se hanno Q parallele se sono esattamente un punto in coincidenti o non hanno comune alcun punto in comune Q Sghembe se non sono complanari Il parallelismo tra rette nello spazio è una relazione d equivalenza. 321

Il Maraschini-Palma - volume 4
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