Il Maraschini-Palma - volume 4

6 Logaritmi Premiamo in sequenza i tasti bianchi e neri di un pianoforte; oppure, equivalentemente, pizzichiamo la corda di una chitarra inizialmente libera premendo poi sui suoi successivi tasti: otteniamo suoni che differiscono di un semitono. La differenza tra un suono e il precedente, a qualunque punto della sequenza siamo, ci appare uguale. Seguendo la terminologia musicale, cioè, non avvertiamo la diversità tra l intervallo che sussiste tra un Mi e un Fa (che distano di un semitono) e l intervallo tra un Do e un Do diesis (Do#). In termini acustici, ciò che rimane costante tra ogni nota e la precedente, distante un semitono, è il rapporto tra le frequenze: la successione delle note costituisce perciò una progressione geometrica. Così, per esempio, se con freq(x) indichiamo la frequenfrequenza za associata alla nota x, abbiamo: 550 freq(Do#) 12 _ freq(Fa) _ _ = = 2 freq(Mi) freq(Do) 500 Se dunque rappresentassimo sul piano cartesiano le note, riportando sull asse delle ascisse la loro successione e 450 sull asse delle ordinate la loro frequenza, otterremmo un grafico esponenziale conseguente al loro essere in pro400 gressione geometrica. Ma non è questa la rappresentazione utilizzata per le note musicali. Usualmente, infatti, seguendo in questo la notazione introdotta da Guido d Arezzo (990-1050), le note sono disposte nel piano secondo un sistema di riferimento che ha in orizzontale il tempo e in verticale l altezza della nota. 350 300 250 DO RE MI FA SOL LA SI DO Do Re Mi Fa Sol La Si Do Il sistema del pentagramma (che per Guido d Arezzo aveva in realtà soltanto quattro righi: tetragramma) è sostanzialmente una rappresentazione logaritmica delle frequenze musicali. Note che distano tra loro due semitoni, come Do, Re, Mi, e che quindi hanno tra loro un rapporto costante di frequenza, vengono rappresentate a distanza uguale, come se, appunto, si rappresentasse il logaritmo della loro frequenza. FISSA I CONCETTI La scala musicale è un esempio di scala logaritmica, infatti, il rapporto tra le frequenze di due note che distano _di un semitono 12 è uguale 2. APPROFONDIMENTO A In realtà la rappresentazione delle note musicali, che anticipa di molti anni l idea cartesiana di utilizzare in forma combinata le due dimensioni del piano, si discosta da una precisa rappresentazione matematica per almeno due motivi: 1. innanzitutto, le note, a seconda della loro durata, sono contrassegnate in modo diverso. Per questo, l asse dei tempi non è esattamente un asse di tipo cartesiano. Nella rappresentazione musicale, per esempio, questa nota: = SEMIMINIMA 1 4 ha una durata doppia di quest altra: = CROMA 1 8 e ciò si evince dalla forma del segno e non dalla lunghezza orizzontale del tratto, come sarebbe in un grafico temporale; 2. in secondo luogo, sui righi del pentagramma le note della scala di Do hanno un posto privilegiato, mentre le note intermedie contrassegnate con diesis (#) o bemolle ( ) mantengono il posto della nota non alterata, recando vicino il contrassegno dell alterazione. In una precisa rappresentazione cartesiana logaritmica, invece, Do#, essendo di un semitono più alto di Do, dovrebbe stare di mezza altezza sopra Do. 293

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