Il Maraschini-Palma - volume 4

6 Logaritmi da cui: 1 x _____ = 2x 1 x+2 1 x = (2x 1)(x + 2) 2x2 + 4x 3 = 0 _ 2 10 Le soluzioni di questa equazione sono x = ____________ 2 Solo una delle due soluzioni è accettabile, perché appartiene all intervallo di ___ 2 + 10 definizione dell equazione: x = __________. 2 O Risolvi in R l equazione log(x + 1) + log(x 1) = 0. L equazione è definita per x > 1. Abbiamo: __ 2 x = log((x + 1)(x 1)) = log 1 x2 1 = 1 x2 = 2 __ ma, dovendo essere x > 1, l unica soluzione accettabile è x = 2 . O Risolvi in R l equazione (logx)2 2 logx 3 = 0. L equazione è definita per x > 0. Per risolverla eseguiamo la sostituzione t = logx. L equazione diventa: _ 2 16 t2 2t 3 = 0 le cui soluzioni sono: t = ___________ ovvero t1 = 1 e t2 = 3 2 1 _ logx = 1 x = 10 logx = 3 x = 1000 Entrambe le soluzioni sono accettabili perché appartengono all insieme di definizione. PROVA TU P Ri Risolvi in R l equazione log 10 x) ( _ =2 log (x 4) FISSA I CONCETTI Q Q logf(x) = k f(x) = 10k logf(x) = logh(x) f(x) = h(x) La risoluzione grafica Come abbiamo visto per risolvere una equazione logaritmica spesso occorre applicare più volte le proprietà delle potenze e dei logaritmi per riportare l equazione a un altra equivalente, ma più agevole; altre volte dobbiamo introdurre una nuova incognita e trasformare conseguentemente l equazione. Se però l incognita non compare solo nell argomento dei logaritmi allora dobbiamo ricorrere a un metodo che utilizzi le rappresentazioni grafiche. Consideriamo la seguente equazione: x + log3 x = 4 una equazione in cui la variabile x compare sia da sola sia come argomento di un logaritmo. Non possiamo perciò applicare le proprietà dei logaritmi, né trovare una trasformazione che la riporti a una equazione algebrica (irrazionale o razionale). Seguiamo allora una procedura di risoluzione grafica. Riscriviamo l equazione ponendo da una parte del simbolo di uguaglianza i termini con logaritmo e dall altra gli altri: log3 x = x + 4 Interpretiamo questa equazione come equazione risolvente del seguente sistema: y = log 3 x {y = x + 4 285

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