Il Maraschini-Palma - volume 4

RELAZIONI E FUNZIONI esempi O Risolvi in R l equazione log(x 1)2 log(x 1) = 1. L insieme di definizione deve essere x 1 > 0 cioè x > 1. Applicando il teorema del logaritmo di una potenza l equazione diventa: 2log(x 1) log(x 1) = 1 Poiché gli argomenti e le basi sono uguali possiamo scrivere: log(x 1) = 1 x 1 = 10 x = 11 Nel caso più generale avremmo potuto usare il teorema del quoziente ottenendo: (x 1)2 log _ = 1 x 1 Poiché la condizione di esistenza garantisce che x 1 possiamo semplificare: log(x 1) = 1 x 1 = 10 x = 11 La soluzione è accettabile. _____ _____ O Risolvi in R l equazione log x 1 + log x + 3 = 0. L equazione è definita per: x 1>0 cioè per x > 1 {x + 3 > 0 Possiamo scrivere direttamente l equazione equivalente: _1_ log(x 1) + _1_ log(x + 3) = 0 2 2 da cui: log(x 1) + log(x + 3) = 0 log((x 1)(x + 3)) = 0 Qualunque sia la base, il logaritmo è 0 solo se l argomento è uguale a 1. Abbiamo perciò: __ (x 1)(x + 3) = 1 x2 + 2x__ 4 = 0 x = 1 5 Di queste, solo la soluzione 1 + 5 è accettabile perché maggiore di 1. O Risolvi in R l equazione log x4 + log x3 + log x2 + log x = 5. Deve essere x > 0. L equazione si trasforma in: 4log x + 3log x + 2log x + log x = 5 _1_ 10log x = 5 ___ 1 log x = __ x = 10 2 = 10 2 La soluzione è accettabile. O Risolvi in R l equazione log(1 x) log(x + 2) = log(2x 1). L equazione è definita per: x 0 x > 2 x+2>0 1 {2x 1 > 0 x>_ 2 1 Le soluzioni devono perciò appartenere all intervallo reale (__ ; 1). 2 Dall equazione si ottiene l equazione equivalente: 1 x log _____ = log(2x 1) x+2 284

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