4 - Le equazioni logaritmiche

RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 307 ATTENZIONE! A N sono invece logaritmiche le Non equazioni 2x + log 3 = 5log 2 x 2 x log 6 = x 2 + 1 perché l incognita x non compare come argomento del logaritmo. 4 Le equazioni logaritmiche Una equazione in cui la variabile incognita compare come argomento della funzione logaritmica è detta equazione logaritmica: log(x 3) = 4 log(3x 1) = log 2x log x 1 = log(3 x) sono esempi di equazioni logaritmiche, via via più complesse. KEYWORDS K e equazione logaritmica / logarithmic equation L insieme di definizione e la ricerca delle soluzioni Per risolvere una equazione logaritmica riconduciamo il problema alla ricerca della soluzione di una equazione polinomiale a essa equivalente. Nella risoluzione di una equazione logaritmica occorre però tenere presente che la funzione logaritmica, qualunque sia la base, è definita solo per valori positivi dell argomento. Occorre, quindi, prima di tutto, stabilire in quale intervallo reale l equazione è definita. ATTENZIONE! A Ri Ricorda che la base del logaritmo decimale è 10. La prima delle precedenti equazioni ha significato, quindi, solo se: x 3 > 0 cioè x > 3 Stabilita questa condizione, l equazione può essere risolta immediatamente, utilizzando la definizione stessa di logaritmo: log(x 3) = 4 104 = x 3 10 000 = x 3 x = 10 003 Poiché 10 003 > 3, la soluzione è accettabile. La seconda equazione, log(3x 1) = log 2x, è definita quando si verificano entrambe le seguenti condizioni: 3x 1 > 0 e 2x > 0 L intervallo reale in cui l equazione è definita si trova perciò determinando le soluzioni del sistema di disequazioni: 1 x>_ 3x 1 > 0 3 {x > 0 {2x > 0 1 Quindi, deve essere: x > __. 3 Se deve essere log(3x 1) = log 2x, dovrà essere 3x 1 = 2x. La soluzione di questa equazione polinomiale equivalente è semplice: 3x 1 = 2x x = 1 1 Poiché 1 > __, tale soluzione è accettabile come soluzione dell equazione data. 3 Consideriamo ora la terza equazione: log x 1 = log(3 x). Essa è definita se: x > 0 x>0 {3 x > 0 {x < 3 Quindi, essa è definita per valori di x compresi nell intervallo reale (0 ; 3). 282

Il Maraschini-Palma - volume 4
Il Maraschini-Palma - volume 4