I logaritmi naturali

6 Logaritmi Con il cambiamento di base è sempre possibile ricondursi ai logaritmi decimali e quindi effettuare il calcolo con la calcolatrice. FISSA I CONCETTI Q esempio O Dopo essere passato a logaritmi decimali, utilizza la calcolatrice per determinare log3 8. log 8 0,903 Abbiamo log3 8 = ____ _____ 1,893 log 3 0,477 Q Q Q I logaritmi naturali Nei calcoli e nelle applicazioni è comunemente utilizzata anche un altra base. Si tratta di un particolare numero irrazionale che in matematica ha un importanza analoga a quella che ha il numero , tante sono le diverse situazioni e i diversi modelli in cui esso ricorre: è un numero irrazionale, detto anche numero di Nepero, compreso tra 2 e 3, comunemente indicato con la lettera e. Una sua approssimazione è la seguente: e = 2,7182818... La funzione esponenziale y = expe(x), avente per base il numero e, è spesso indicata più semplicemente con y = ex. A essa ci si riferisce quando si parla di «funzione esponenziale senza specificare la base. Sulle calcolatrici scientifiche si può visualizzare un valore approssimato del numero e premendo il tasto ex seguito (o preceduto a seconda dei modelli) dal numero 1; si calcola così e1 = e. Il numero e può anche essere approssimato con i successivi valori della successione: n _1_ 1 + ( n) possibile dimostrare, infatti, che all aumentare di n, gli elementi di tale successione si avvicinano sempre più a e. Proviamo, per esempio, a calcolare i suoi valori per: n = 1; 2; 10; 100; 1000; 10 000 Utilizzando la calcolatrice, otteniamo: 1 _1_ = 2 1 + ( 1) 2 _1_ = 1,52 = 2,25 1 + n = 2: ( 2) 1 10 ___ 1 + = 1,110 2,5937 n = 10: ( 10) 1 100 ____ 1 + = 1,01100 2,7048 n = 100: ( 100) 1 1000 = 1,0011000 2,7169 n = 1000: (1 + _____) 1000 10 000 1 = 1,000110 000 2,7181 n = 10 000: (1 + ______) 10 000 Sono valori approssimati del numero e via via più precisi. n = 1: Il numero e è una base fondamentale per i logaritmi: i logaritmi con tale base sono detti logaritmi naturali (o neperiani) e indicati con ln: ln x loge x Q Logaritmo in base b di x (con b > 0, b 1, x R+): esponente a cui occorre elevare b per avere x. b R+ {1}, x R+ abbiamo: x = by y = logbx Teorema del cambiamento di base: logbx logbx ____ = logba logax = ____ logax logba Logaritmo decimale di un numero: logx log10x Attraverso il teorema del cambiamento di base, possiamo utilizzare la calcolatrice scientifica per determinare il logaritmo di un numero in base qualunque. I protagonisti della matematica John Napier (1550-1617) noto come Giovanni Nepero, è stato un matematico, astronomo e fisico scozzese, celebre per la pubblicazione dell opera Introductio in analysis infinitorum, nella quale introduce il logaritmo naturale. KEYWORDS K lo logaritmo naturale / natural logarithm 273

Il Maraschini-Palma - volume 4
Il Maraschini-Palma - volume 4