Le equazioni con potenze della stessa base

RELAZIONI E FUNZIONI Le equazioni con potenze della stessa base Equazioni esponenziali meno banali sono quelle in cui i termini a sinistra e a destra dell uguale sono esprimibili come potenze della stessa base. Per esempio, l equazione: 2 x 1 = 4x può essere riscritta così: 2x 1 = 22x Essendo uguali sia le potenze sia le basi, sono uguali gli esponenti: 2x 1 = 22x x 1 = 2x x = 1 P PROVA TU Risolvi in R la seguente _x Ri equazione: 5x 25x 1 = 125 3 . FISSA I CONCETTI Una equazione del tipo: b f (x) = b g (x), con b > 0 e b 1 si risolve ponendo f (x) = g(x). esempio O Risolvi in R la seguente equazione: 3x 1 27x = 93x 1 Possiamo riscriverla così: 3x 1 33x = 32(3x 1) Applichiamo le proprietà delle potenze: 3x 1 + 3x = 36x 2 da cui: 1 4x 1 = 6x 2 x = __ 2 Le equazioni esponenziali risolubili per sostituzione Se possiamo ridurre una equazione esponenziale a una di queste forme: akx + b = 0 oppure ak2x + bkx + c = 0 allora, possiamo effettuare la sostituzione kx = t in modo da risolvere un equazione polinomiale di primo o di secondo grado. Per esempio vogliamo risolvere l equazione esponenziale 22x 3 2x 4 = 0. Effettuando la sostituzione t = 2x l equazione diventa: t2 3t 4 = 0 3 5 t 1,2 = _ 2 t 1 = 1 t2 = 4 2x = 1 impossibile 2x = 22 x = 2 L unica soluzione dell equazione è x = 2. esempi O Risolvi in R l equazione: 22x 9 2x + 23 = 0 Possiamo può effettuare la sostituzione 2x = t, riducendosi così a risolvere un equazione di secondo grado: t2 9t + 8 = 0 che ha come soluzioni: t1 = 1, t2 = 8. Infine, sostituendo, abbiamo: 2x = 1 x1 = 0 2x = 8 x2 = 3 L equazione ha, quindi, due soluzioni. 236

Il Maraschini-Palma - volume 4
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