2 - Le potenze a esponente reale

RELAZIONI E FUNZIONI FISSA I CONCETTI Successione esponenziale di base a (diversa da 0): n an con n N e a 0 una progressione geometrica di primo termine 1 e ragione a: Q è divergente se | a | > 1; Q è convergente a 0 se | a | < 1. Esercizi da pag. 251 Il numero di neutroni che intervengono nella reazione costituisce una successione esponenziale di base 3: stato iniziale: 30 = 1 neutrone stato 1 (primo urto): 31 = 3 neutroni stato 2 (secondo urto): 32 = 9 neutroni stato 3 (terzo urto): 33 = 27 neutroni 2 Le potenze a esponente reale Gli andamenti esponenziali I modelli di crescita o di decrescita che seguono una legge esponenziale sono di particolare importanza nello studio dell andamento di alcuni fenomeni reali. Le successioni non sono però uno strumento sufficiente per descrivere tali andamenti perché questi, nella maggior parte dei casi, non possono essere significativamente rappresentati con modelli discreti. In generale, infatti, interessa studiare l evoluzione di un fenomeno nel tempo e il tempo è una variabile continua. Quando, quindi, esaminiamo lo svolgersi di un fenomeno nel tempo, eseguendo osservazioni e registrazioni di dati, a intervalli di tempo regolari, ricaviamo informazioni discrete di un fenomeno che però avviene con continuità. Le rappresentiamo con un insieme di punti distinti corrispondenti alle nostre registrazioni. Se vogliamo rappresentare l andamento complessivo del fenomeno in esame, occorre però costruire un modello matematico continuo che lo descriva, immaginando la sua evoluzione tra un osservazione e l altra. Graficamente, non dovremo più avere un insieme di punti distinti, ma una linea continua che passa per essi. Per questo, non ci limitiamo a funzioni di dominio N, cioè a successioni, ma consideriamo funzioni di dominio R, poiché R è un insieme continuo. Consideriamo allora una funzione reale del tipo: x bx, per ogni x R La funzione associa a un numero reale qualsiasi x la potenza di base b ed esponente x. esempio y 8 7 6 5 4 3 2 1 O 222 O Se b = 2, allora la funzione associa a ogni numero reale x il numero reale 2x. Costruiamo il suo grafico, a partire dal grafico delle successioni di potenze di 2. 1 2 3 x Disegniamo il grafico della funzione per x 0, unendo con continuità i punti del grafico della successione di potenze di 2 con esponente naturale (figura a lato): 0 20 = 1 1 21 = 2 2 22 = 4 3 23 = 8

Il Maraschini-Palma - volume 4
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