Il Maraschini-Palma - volume 4

RELAZIONI E FUNZIONI esempi O Dopo aver scritto alcuni termini delle successioni di potenze di 2 e di 5, determina se sono convergenti o divergenti. PROVA TU P D Dopo aver scritto alcuni termini 3 della successione di potenze di _ 2 analizzane il comportamento. APPROFONDIMENTO A Q Questa legge di crescita del capitale iniziale è detta legge di capitalizzazione composta perché ogni volta il nuovo interesse è calcolato sul montante (composto da capitale iniziale e interessi accumulati) e non sul solo capitale iniziale. Se C è il capitale iniziale, M il montante e i il tasso di interesse annuo, il montante dopo n anni è M = C(1 + i)n. FISSA I CONCETTI Una progressione geometrica di primo termine 1 e ragione a è una successione di potenze. I suoi termini sono: 1 = a0 a = a1 a2 a3 a4 ... an ... 196 La successione delle potenze di 2 è: ( 2)0 = 1 ( 2)1 = 2 ( 2)2 = 4 ( 2)3 = 8 ( 2)4 = 16 ... Poiché la base è negativa, i segni sono alternativamente positivi e negativi. La successione è comunque divergente perché i suoi termini sono in valore assoluto sempre più grandi. O La successione delle potenze di 5 è: 50 = 1; 51 = 5; 52 = 25; 53 = 125; 54 = 625; Quali sono le sue caratteristiche? La legge che esprime la corrispondenza di dominio N è: n 5n. il termine generico della successione è, quindi, 5n. una successione crescente e divergente. O Legge di capitalizzazione composta. Depositando in una banca un capitale C, la banca provvede a dare un interesse annuo sul capitale depositato. Per ogni euro depositato la banca dà un interesse i (positivo): tale interesse, che si ottiene per una unità monetaria in un unità di tempo, è il tasso di interesse. Supponiamo di depositare in banca una somma unitaria (un euro o un dollaro o una sterlina...). Al termine del primo anno il capitale depositato diviene, quindi: 1+i Trascorso un secondo anno, la banca deve dare di nuovo un interesse, calcolato però sul capitale disponibile alla fine del primo anno. Il nuovo capitale in deposito, il montante, è, quindi: (1 + i) + (1 + i) i = 1 + i + i + i2 = (1 + i)(1 + i) = (1 + i)2 L operazione va avanti nell anno successivo e il nuovo montante è, al termine del terzo anno: (1 + i)2 + (1 + i)2 i = 1 + i2 + 2i + i + i3 + 2i2 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = = (1 + i)3 Dopo n anni di deposito, il montante è (1 + i)n. I successivi montanti sono, di anno in anno: 1 (1 + i) (1 + i)2 (1 + i)3 ... (1 + i)n Sono, cioè, le successive potenze di 1 + i: è una progressione geometrica con primo termine 1 e ragione 1 + i. Poiché i è positivo, 1 + i > 1. Quindi la successione è divergente.

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