Il Maraschini-Palma - volume 4

4 Successioni e progressioni APPROFONDIMENTO A N Nella formula «additiva che riguarda le progressioni aritmetiche vi sono le operazioni di: addizione moltiplicazione per n sottrazione divisione per n Nella corrispondente formula «moltiplicativa , che riguarda le progressioni geometriche, vi saranno le operazioni più forti corrispondenti: addizione sottrazione moltiplicazione per n divisione per n moltiplicazione divisione elevamento a n radice n-esima Utilizzando queste corrispondenze tra operazioni il teorema si ottiene dalla formula per l n-esimo termine di una progressione aritmetica, an = a1 + d(n 1), sostituendo in essa l addizione con la moltiplicazione e la moltiplicazione con l elevamento a potenza. La somma dei primi n termini Anche per le progressioni geometriche ricaviamo una formula per esprimere la somma dei suoi primi n termini. TEOREMA La somma Sn dei primi n termini di una progressione geometrica (con ragione d 1) è: dn 1 Sn = a1 _____ d 1 Dimostrazione Abbiamo: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an 1 + an Sn = a1 + a1d + a1d2 + ... + a1d n 1 (1) Moltiplicando ambedue i termini della formula per d otteniamo: dSn = a1d + a1d2 + a1d3 + ... + a1d n (2) Sottraendo (1) da (2) abbiamo quindi: dSn Sn = a1dn a1 Sn(d 1) = a1(d n 1) Perciò: dn 1 Sn = a1 ______ d 1 c.v.d. esempio O Calcola la somma dei primi 10 termini della progressione geometrica di valo1 re iniziale 1 e di ragione __. 2 Applicando la formula: 10 2 1 _ 1 10 1023 _ 1 _ 10 ( ) d 1 2 2 1024 1023 S 10 = a 1 _ = 1 ____________ = _ = _ = _ 1,998 1 1 1 d 1 512 _ _ _ 1 n 2 2 2 187

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