Il Maraschini-Palma - volume 4

RELAZIONI E FUNZIONI O Valuta l andamento della seguente progressione geometrica: _1_ 1 2 4 8 2 1 Il suo primo termine è __ e la ragio2 ne è 2. 16 ... y Quindi d < 1. PROVA TU P V Valuta l andamento della progressione geometrica di primo 1 termine __ e ragione 3 3 rappresentando i suoi termini in un riferimento cartesiano. Com è invece l andamento della progressione geometrica, sempre di 1 primo termine __ ma di ragione 1? 3 I termini della progressione, anche in questo caso, oscillano tra valori positivi e valori negativi (non è né crescente, né decrescente); essa è comunque una progressione divergente. Il suo grafico è illustrato a lato. 1 1 2 1 3 4 5 x La ricerca di un generico termine Anche per le progressioni geometriche cerchiamo una formula che permetta di trovare l n-esimo termine senza scorrere tutti i precedenti. Per determinare la formula, osserviamo che la definizione di progressione geometrica si ottiene da quella di progressione aritmetica semplicemente sostituendo alla parola «differenza la parola «rapporto . Perciò, come in una progressione aritmetica abbiamo: an an 1 = d così in una progressione geometrica abbiamo: an _____ =d an 1 TEOREMA L n-esimo termine di una progressione geometrica di valore iniziale a1 e ragione d è: an = a1d n 1 Dimostrazione La dimostrazione procede nello stesso modo di quella relativa alle progressioni aritmetiche. Per definizione di progressione geometrica, abbiamo: a3 = a2d a4 = a3d ... an = an 1d ... a2 = a1d Sostituendo: a3 = a2 d = a1 d2 e, analogamente, per gli altri termini. c.v.d. 186

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