Il Maraschini-Palma - volume 4

1 Le funzioni goniometriche esempio O Determina il valore di tan _. 4 _ _ 2 2 _ _ _ _ e cos = , il loro rapporto è 1 e quindi tan _ = 1. Poiché sen = 4 4 4 2 2 Mostriamo (limitandoci per ora al primo quadrante) che la definizione funzionale di tangente coincide con quella geometrica. y P Dal punto P del lato finale dell angolo x tracciamo il segmento PH perpendicolare all asse delle ascisse (figura a lato). I due triangoli OHP e OAT si corrispondono in una omotetia di centro O e i segmenti PH e TA sono paralleli. Abbiamo quindi: x O H T A x TA TA = k PH _ = k PH OA OA = k OH _ = k OH Dalle precedenti uguaglianze deduciamo che: TA _ OA _ = PH OH ma: ¯= 1 OA Quindi: PH = senx OH = cosx TA 1 _=_ PH OH senx cosx Perciò effettivamente: TA ____ OA _ = senx TA = _ = tanx cosx esempio O Determina il valore di tan _. 6 Possiamo utilizzare la definizione geometrica ragionando sul triangolo OAT i cui angoli hanno rispettive ampiezze di 30°, 60°, 90°. quindi metà di un ¯ = 1. triangolo equilatero di cui conosciamo l altezza OA ¯ ¯ Poiché OT = 2AT applicando il teorema di Pitagora otteniamo: __ 1__ ¯ = ___ da cui risulta AT 3 __ ___ ¯= 3 Razionalizzando: AT 3 ¯ = AT ¯ 3 OA y P O x T A x Possiamo anche ricorrere alla definizione funzionale perché già sappiamo che: 1 sen _ = _ 6 Perciò: 2 _ e 3 cos _ = _ 6 2 1 _ _ _ sen _ 3 _ 3 1 _ 2_ _ 1_ _ 1_ _ 6 2 _ _ _ _ _ _ tan = = = = = = _ 6 cos _ 2 3 3 3 3 3 3 6 2 17

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