Il Maraschini-Palma - volume 4

3 ESERCIZI Trigonometria Quando x = 0, il rettangolo si riduce al diametro AB perché il punto P coincide con B; quando x = __ il 2 punto P coincide con A e il rettangolo si riduce al punto A. Per questo abbiamo escluso gli estremi dell intervallo di variazione di dell incognita x. Essendo il triangolo APB rettangolo in P abbiamo: AP = ABcosx = 2rcosx Essendo il triangolo APH rettangolo in H abbiamo: AH = APcosx = 2rcos2x PH = APsenx = 2rsenxcosx 2p(AEPH) = 2PH + 2AH = 4r senxcosx + 4rcos2x Il triangolo ABC è la metà di un quadrato di diagonale AB = 2r. _ __ AB _ = 2 r e 2pABC = 2 2r + 2r. Quindi AC = BC = ___ 2 Otteniamo così l equazione: _ 2 4r senxcosx ___________________ _ + 4r cos x = 2 2 1 ( ) 2 2 r + 2r 2 2 _ 2(senxcosx + cos x) _ __________________ = 2 2 1 ( ) 2 + 1 _ senxcosx _______________ _ + cos x = 2 1 senxcosx + cos2 x = 1 2 + 1 L equazione è riconducibile a una omogenea di secondo grado sostituendo a 1 l espressione sen2x + cos2x: senx cosx + cos2x = sen2x + cos2x sen2x senxcosx = 0 senx (senx cosx) = 0 senx = 0 ha soluzioni non accettabili con le limitazioni imposte alla incognita x; senx = cosx ha soluzione x = __ che appartiene all intervallo 0 < x < __. 4 2 Abbiamo la soluzione al problema quando x = __, cioè quando il punto P coincide con il punto C. 4 195 Calcola la misura x dell angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l ipotenusa, co2 noscendo il rapporto __ del cateto stesso con la 3 proiezione dell altro cateto sull ipotenusa. 198 Dato un semicerchio avente diametro AB di lun- [3] ghezza 2a, conduci per A una corda AP che formi P = 2x; essendo Q il punto con AB un angolo BA medio dell arco BP, determina x in modo che la somma dei quadrati __ delle diagonali del quadrilatero ABQP sia ( 3 + 3)a2. ___ 196 In un semicerchio avente diametro AB di __ lunghezza 2r, inscrivi un rettangolo di perimetro ( 3 + 2)r. 199 Considerata la semicirconferenza di centro O e _ _ P = x, dove O è il centro del semicerchio, P il vertice [QO del rettangolo posto sulla semicirconferenza a destra di O, Q la proiezione ortogonale di P sul diametro; x = __ 3] 197 Nel triangolo ABC, isoscele di base BC, il lato AB C è uguale a misura 4a e il coseno dell angolo BA 1 __. Indicando con M il punto medio di AB, trova 8 sulla base un punto P in modo che, detta D la proiezione ortogonale di P sulla retta AC, si abbia ¯2 + + 16PD ¯2 = 189a2. 7PM [CP = x; x = 5a] [x = 12 ] diametro AB, avente lunghezza 2r, e la tangente a essa in A, sia K il piede della perpendicolare a questa tangente condotta da un punto P variabile P sulla semicirconferenza. Determina l angolo AO in modo _che il perimetro del trapezio AOPK 7 + 3 2 5 ___ ___ sia _______ r. [AOP = x; x = 3 ; x = 6 ] 2 200 Considera un punto M variabile su una semicir- conferenza di diametro AB = 2r. __ Indica per__quale posizione di M risulta: AM + 3 __MB = 2 2r. __ [M AB = x, ottieni l equazione 3 senx + cosx = 2 ] 167

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