La formula di Erone

3 Trigonometria La formula di Erone Un importante espressione dell area del triangolo è quella che lega la sua misura alle lunghezze dei tre lati. Questa relazione è comunemente indicata come formula di Erone, dal nome di un matematico e fisico alessandrino vissuto tra il I sec. e il III sec. d.C. (data incerta). TEOREMA (formula di Erone) Approfondisci L area di un triangolo ABC il cui semiperimetro è indicato con p è data dalla formula: Dimostrazione del teorema (formula di Erone) ___________________ Area = p(p a)(p b)(p c) I protagonisti della matematica La dimostrazione di questo teorema, spesso utile nella risoluzione di problemi geometrici, è riportata negli approfondimenti online. Utilizziamo questa formula nei seguenti esempi. esempi O Determina i lati di un rettangolo che abbia la stessa area e lo stesso perimetro di un triangolo di lati a, b, c. Indichiamo con x e y la base e l altezza del rettangolo da determinare, con p il semiperimetro del rettangolo e con S la sua area. Valgono le relazioni: x+y=p {xy = S Il rettangolo ha la stessa area e lo stesso perimetro del triangolo. Conosciamo, quindi (per il triangolo): a + b + c p = _ 2 ____________________________ S = p(p a)(p b)(p c) Possiamo allora risolvere il sistema e trovare x e y. Per esempio, se il triangolo è rettangolo di lati 3, 4 e 5 unità, allora p = 6 uni_ tà e S = 6 3 2 1 = 6 unita2. In questo caso, base e altezza del rettangolo devono soddisfare le relazioni: x+y=6 {xy = 6 Per trovare le soluzioni, risolviamo l equazione: z2 6z + 6 = 0 _ _ _ Le sue soluzioni_sono 3 3 e 3 + 3. Quindi i rettangoli di base 3 3 e altezza 3 + 3 unità o viceversa sono gli unici due che soddisfano le condizioni richieste. O Determina il raggio r della circonferenza inscritta nel triangolo di lati a, b e c. _ 2 b Se p2 > 4S il problema ha due a O A L soluzioni del sistema nel Le primo esempio si ottengono risolvendo l equazione: z 2 pz + S = 0 Questa ha come soluzioni: 2 r Conoscendo i tre lati del triangolo conosciamo pure il semiperimetro p e, per la formula di Erone, l area S. ATTENZIONE! A Q p p 4S z = __________________ C Per disegnare la circonferenza inscritta tracciamo le bisettrici, il loro punto di incontro è il centro della circonferenza inscritta. Erone di Alessandria è stato un matematico e ingegnere greco vissuto ad Alessandria tra il I sec. e il II sec. d.C. Le sue opere sono giunte fino a noi praticamente intatte, ma le notizie biografiche sono scarse. Fu l artefice della scuola meccanica presso il Museo di Alessandria e costruì una serie di macchine belliche e ludiche, idrauliche e pneumatiche. La celebre formula di Erone compare nell opera Metrica e, nella stessa opera, egli espone un metodo per approssimare la radice quadrata di un numero. c B soluzioni (si passa dall una all altra scambiando base con altezza). Se p2 = 4S le due soluzioni coincidono: il rettangolo è un quadrato (ha base e altezza uguali). 137

Il Maraschini-Palma - volume 4
Il Maraschini-Palma - volume 4