3 - Le funzioni y = cosx e y = senx

RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 50 APPROFONDIMENTO A D un qualunque x R, Dato possiamo ricavare y = cosx e y = senx, con minore o maggiore approssimazione, in uno dei seguenti modi: Q con un procedimento geometrico (come nel paragrafo precedente); Q utilizzando una calcolatrice che abbia i tasti cos e sin. Le calcolatrici sono predisposte per utilizzare tre diversi sistemi di unità di misura: DEG: è l ordinario sistema di misura in gradi, ma con le parti frazionarie espresse in decimali; GRAD: è il sistema centesimale di misura degli angoli. In esso l angolo retto misura 100 e si modificano di conseguenza le misure di tutti gli altri angoli; RAD: è il sistema di misura degli angoli in radianti. ATTENZIONE! A Ab Abbiamo indicato l intervallo [ 1 ; 1] racchiudendolo tra parentesi quadre. Questa convenzione si utilizza per indicare che gli estremi 1 e +1 sono inclusi nell intervallo. Se nell indicare un intervallo si utilizzano invece le parentesi tonde accanto a uno o a entrambi gli estremi, intendiamo, convenzionalmente, che quell estremo o entrambi non sono compresi nell intervallo considerato. KEYWORDS K fu funzione periodica / periodic function 3 Le funzioni y = cosx e y = senx Le funzioni goniometriche Al di là della loro origine geometrica, il coseno e il seno possono essere considerati dei procedimenti, delle leggi che, assegnato un qualunque numero reale x, forniscono un altro numero reale y (il valore del coseno o del seno di x): x cos y y = cosx x sen y y = senx Il coseno e il seno sono perciò due funzioni reali di variabile reale. Poiché, nella storia, traggono origine dal problema di mettere in relazione misure di angoli e misure di segmenti, esse sono chiamate funzioni goniometriche (gonion, in greco, significa angolo). Sia per il coseno sia per il seno, la variabile x può assumere qualunque valore reale: l insieme di definizione è perciò tutto l insieme R. Poiché invece, per ogni x R, 1 cosx 1 e 1 senx 1, per ognuna delle due funzioni, la variabile y non può essere minore di 1 o maggiore di 1: la loro immagine è perciò l intervallo reale [ 1 ; +1]. Le due funzioni hanno un altra caratteristica che deriva dalla loro definizione geometrica: hanno valore uguale per numeri che differiscono per multipli di 2 . Infatti, la posizione del lato finale è la stessa se si aggiunge un numero qualsiasi di rotazioni di un angolo giro: cosx = cos(x + 2 ) = cos(x + 4 ) = ... = cos(x 2 ) = cos(x 4 ) = ... senx = sen(x + 2 ) = sen(x + 4 ) = ... = sen(x 2 ) = sen(x 4 ) = ... Tutto ciò si può esprimere scrivendo: cosx = cos(x + 2k ), qualunque sia k Z senx = sen(x + 2k ), qualunque sia k Z Le due funzioni assumono perciò gli stessi valori a intervalli costanti di ampiezza 2 : sono quindi funzioni periodiche di periodo 2 . Questo è uno dei motivi per cui tali funzioni sono così importanti: esse sono infatti utilizzate come modelli per descrivere e analizzare i fenomeni fisici con andamento periodico, oscillatorio (il suono, le correnti elettriche alternate, tutti i fenomeni ondulatori). FISSA I CONCETTI Le funzioni senx e cosx sono periodiche di periodo 2 cioè: cosx = cos(x + 2k ); senx = sen(x + 2k ); qualunque sia k Z. 12 Una funzione y = f(x) si dice periodica se assume lo stesso valore a intervalli regolari e cioè se (qualunque sia x nel dominio) esiste un numero t R tale che, per ogni k Z, abbiamo: f(x + k t) = f(x) Il numero t è il periodo della funzione.

Il Maraschini-Palma - volume 4
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