Il Maraschini-Palma - volume 4

2 ESERCIZI Equazioni e disequazioni goniometriche La disequazione: _ _ Y 3 X > 1 Y > 3 X + 1 _ rappresenta un semipiano che ha per origine la retta Y = 3 X + 1, mentre l equazione X2 + Y2 = 1 rappresenta la circonferenza goniometrica. Le soluzioni del sistema sono le intersezioni tra il semipiano in colore e la circonferenza, cioè l arco di circonferenza rappresentato in colore: _ _ < x < _7_ . 2 6 Le soluzioni della disequazione sono quindi: Y 1 1 3 1 2 7 6 O 1X _ _ +2k < x < _7_ +2k 2 6 esercizio svolto _ senx ( 2 1) cosx 0 Si tratta di una disequazione lineare omogenea. Possiamo risolverla con il metodo grafico visto nel precedente esercizio svolto, ma anche con un altro metodo, che qui seguiamo e che può in alcuni casi rivelarsi più veloce. Supposto cosx 0, cioè x __ + k , dividiamo tutti i termini per cosx. 2 Poiché cosx non ha segno costante, bisogna tenerne conto e quindi la disequazione diventa: __ __ senx cosx cosx(____ ( 2 1) ____) 0 cosx(tanx ( 2 1)) 0 cosx cosx Studiamo ora i segni dei due fattori per determinare gli intervalli in cui essi risultano discordi: __ + 2k x __ + 2k 2 2 __ tanx 2 1 __ + k x < __ + k 8 2 cosx 0 y O 1 x 7 3 Le soluzioni sono __ + 2k x __ + 2k con x __ + 2k (per la condizione posta su cosx). 8 8 2 3_ _ Tenendo presente, però, che anche x = + 2k verifica la disequazione (infatti sostituendo otteniamo 2 __ 3 3 sen(__ ) ( 2 1) cos(__ ) = 1 < 0), le soluzioni della disequazione sono: 2 2 7 __ +2k x __ + 2k 8 8 113

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