Il Maraschini-Palma - volume 4

1 Le funzioni goniometriche I. Angoli opposti (x e x) Due angoli sono opposti quando hanno la stessa ampiezza in valore assoluto, ma segno diverso. Sulla circonferenza goniometrica l uno è orientato in verso orario e l altro in verso antiorario. Sono simmetrici rispetto all asse delle ascisse e quindi: y cos( x) = cosx (perché le ascisse rimangono inalterate) O sen( x) = senx (perché le ordinate cambiano di segno) x x 1 P x 2 P x II. Angoli complementari (x e _ x) 2 Due angoli si dicono complementari se la loro somma forma un angolo retto _ _ (e quindi di ampiezza 2). Due numeri come x e 2 x rappresentano quindi le ampiezze di due angoli complementari. Sulla circonferenza goniometrica, i lati finali di due angoli complementari individuano due punti P e P che sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante; pertanto le ascisse e le ordinate si scambiano tra loro e quindi: cos(_ x) = senx 2 y O x sen(_ x) = cosx 2 y III. Angoli supplementari (x e x) Due angoli si dicono supplementari se la somma forma un angolo piatto (e quindi di ampiezza ). Due numeri come x e x rappresentano perciò le ampiezze di due angoli supplementari. Sulla circonferenza goniometrica, i lati finali di due angoli supplementari individuano due punti P e P che sono simmetrici rispetto all asse delle ordinate. Le loro ordinate, pertanto, sono uguali, mentre le ascisse hanno il segno opposto. Quindi: cos( x) = cosx P P x O x 1 x sen( x) = senx PROVA TU P esempio E Esprimi in funzione della sola variabile x le seguenti espressioni: 3 a. sen(_ + x) b. sen(_ + x) 2 2 O Esprimi in funzione della sola variabile x le seguenti espressioni: cos(_ + x) 2 1 x 3 sen(_ x) 2 In figura il lato finale dell angolo x è disegna to in grigio; il lato finale dell angolo (_ + x) 2 si ottiene ruotando il lato finale di x di un an- y x FISSA I CONCETTI 1 x golo retto (è disegnato in colore); il lato finale 3 di (_ x) (disegnato in nero) si ottiene in2 3 vece togliendo un angolo di ampiezza x all angolo _ . In tutti e due i casi si 2 scambiano ascissa e ordinata e, ragionando sui segni, otteniamo: cos(_ + x) = senx 2 3 sen(_ x)= cosx 2 Q Angoli opposti: cos( x) = cosx sen( x) = senx Q Angoli complementari: cos _ x = senx (2 ) sen _ x = cosx (2 ) Q Angoli supplementari: cos( x) = cosx sen( x) = senx 11

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