Il Maraschini-Palma - volume 4

2 ESERCIZI Equazioni e disequazioni goniometriche PER ESERCITARSI CON GRADUALIT Risolvi le seguenti equazioni lineari in seno e coseno (o a esse riconducibili) con il metodo che ritieni più opportuno. esercizio svolto sen2x + cos2x = 1 Effettuando la sostituzione: {X = cos2x Y = sen2x Y = X 1 Y = X 1 Y = X 1 {Y = 1 e { Y = 0 { 2 { X = 0 ; X = 1 X=0 X = 1 2 X + 2X = 0 2 2 2 2 e ricordando che sen 2x + cos 2x = 1, cioè Y + X = 1, l equazione è equivalente al sistema: {X2 + ( X 1)2 = 1 Y + X = 1 {X2 + Y2 = 1 Rappresentando le due equazioni in un riferimento cartesiano OXY abbiamo: Y 1 O 1 X Dal grafico possiamo leggere immediatamente le soluzioni dell equazione di origine, ricordando però che l argomento delle due funzioni è 2x: x1 = __ + k 2 3 3 2x2 = __ + 2k x2 = __ + k 2 4 2x1 = +2k esercizio svolto 3senx 5cosx = 5 Utilizziamo le formule parametriche: 5(1 t2) 6t _____ ________ = 5 6t 5 + 5t2 5 5t2 = 0 1 + t2 1 + t2 6t 10 = 0 5 3t 5 = 0 t = __ 3 _x_ = arctan _5_ + k 5 x = 2arctan __ + 2k 2 3 3 Osserviamo che per x = + 2k , valori per i quali le formule parametriche non sono definite, l equazione di partenza è verificata; infatti, sostituendo otteniamo 5 = 5. L equazione quindi ammette, oltre le soluzioni trovate sostituendo le formule parametriche, anche le soluzioni x = + 2k . 105

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