GEOMETRIA Secondo caso: P r I. Se P r, consideriamo un qualunque punto Q sulla retta r e quindi, nel semipiano di r a cui non appartiene P, riportiamo un angolo congruente a r (assioma 8 del trasporto dell angolo). PQ Sul lato diverso da r di tale angolo consideriamo un punto P , tale che P Q QP (assioma 7 del trasporto del segmento). r P Q P II. Uniamo P con P ; il segmento PP interseca la retta r in un punto (assioma 4 di partizione del piano). III. Se questo punto è proprio Q, allora la retta contenente PP forma con la r P Q r). retta r due angoli adiacenti, congruenti per costruzione (PQ Anche gli altri due angoli sono congruenti a questi: la retta per PP forma con r quattro angoli congruenti e, quindi, è proprio la perpendicolare a r per P. IV. Se invece il punto in cui PP interseca r è distinto da Q, indichiamolo con H e consideriamo i triangoli PQH e P HQ. I due triangoli sono congruenti per il primo criterio in quanto: P Q PQ (per costruzione); QH in comune; H PQ H (per costruzione). PQ r P H P Q P e QH P e, quindi, la retta V. Sono tra loro congruenti anche gli angoli QH contenente PP , per lo stesso ragionamento sviluppato in III, è perpendicolare a r. Abbiamo fin qui dimostrato che la perpendicolare esiste. Per dimostrare che essa è unica, basta considerare che, prendendo un qualunque altro punto H sulla retta r, l angolo in H esterno al triangolo PHH è maggiore dell angolo in H (per il teorema 12 dell angolo esterno) e non può, quindi, essere retto. r P H H FISSA I CONCETTI Per un punto vi è una sola perpendicolare a una retta data. 96 c.v.d.