3 Parallelismo e perpendicolarità 1.3 La somma degli angoli interni di un triangolo TEOREMA 16 (somma degli angoli interni di un triangolo) In ogni triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto. = angolo piatto +B +C Ip: ABC triangolo Ts: A Dimostrazione , B gli angoli interni di un triangolo ABC. , C Indichiamo con A I. Da uno dei vertici del triangolo, per esempio A, tracciamo la retta r parallela alla retta per B e C (assioma 5 della parallela). Indichiamo con D ed E due punti sulla retta r. D (per il teorema 13: sono alterni interni rispetto alle parallele r e BA II. B BC tagliate dalla trasversale AB); A D B r E ATTENZIONE! A Il fatto f che la somma degli angoli interni di un triangolo sia un angolo piatto è dimostrato tracciando una retta parallela a una retta data e utilizzando il teorema 13, il quale a sua volta è dimostrato facendo ricorso all assioma 5 della parallela. Pertanto, in una teoria geometrica non euclidea, in cui non valesse l assioma della parallela, questa proprietà del triangolo non sarebbe dimostrabile. C C (anch essi sono alterni interni rispetto alle stesse rette, tagliate EA III. C dalla trasversale AC; vale quindi il teorema 13); C + CA B + BA D = angolo piatto (per costruzione). IV. EA +B angolo piatto (da II, III, IV e per la transitività della con +C V. A gruenza, stabilita dell assioma 6a della congruenza). c.v.d. Il precedente teorema ha un ruolo molto importante nella geometria del piano euclideo. Infatti: Q discende direttamente dall assioma della parallela; Q determina un invariante per i triangoli: qualunque sia la loro forma, la somma degli angoli interni è costantemente congruente a un angolo piatto. Una sua immediata conseguenza è il seguente teorema. TEOREMA 17 In ogni triangolo ogni angolo esterno è la somma dei due angoli interni non adiacenti. Dimostrazione I. Dato il triangolo ABC, prolunghiamo il lato AB di un segmento BD in modo da formare l angolo esterno DBC. II. Tracciamo da B la parallela BE al lato AC che divide l angolo esterno in due parti E e EB C. DB C perché corrispondenti e III. DBE BA A perché alterni interni. C BC EB IV. Per la transitività della congruenza abbiamo la tesi. c.v.d. A B C FISSA I CONCETTI Q Q Q D E Q r // s angoli alterni congruenti r // s angoli corrispondenti congruenti r // s angoli coniugati supplementari La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto. 93