3 Parallelismo e perpendicolarità 1.2 Rette parallele tagliate da una trasversale Ricordando che la relazione di parallelismo è una relazione di equivalenza, determiniamo alcuni criteri per stabilire quando due rette sono parallele. Per questo consideriamo nuovamente tre rette distinte r, s e t non passanti per uno stesso punto e gli angoli da esse formati. Vogliamo vedere sotto quali condizioni due di esse, per esempio r e s, sono tra loro parallele. In tale caso diciamo che r e s sono due rette parallele tagliate da una trasversale t. TEOREMA 13 (rette parallele e angoli alterni) Due rette tagliate da una trasversale sono parallele se e solo se formano angoli alterni (ambedue interni o esterni) congruenti. KEYWORDS K rette parallele / parallel lines re Dimostrazione Conduciamo la dimostrazione soltanto nel caso di angoli alterni interni. Indichiamo una coppia di angoli alterni interni con le lettere greche e . Il teorema è della forma se e solo se; occorre quindi dimostrare teorema e teorema inverso. a. Ip: Ts: r // s I. Supponiamo per assurdo: r non sia parallela a s (ipotesi contraria). A r s P B t II. r s = {P} (le rette si intersecano in un punto, per I). III. Nel triangolo ABP l angolo è un angolo esterno, mentre è un angolo del triangolo, non adiacente ad . Deve perciò essere: > (teorema 12 angolo esterno di un triangolo). IV. La disuguaglianza in III è in contrasto con l ipotesi. L ipotesi contraria non può essere accettata. Quindi: r // s b. Ip: r // s Ts: I. Supponiamo per assurdo: (ipotesi contraria) e supponiamo < . r r s A B t II. Per I e per l assioma 8 (trasporto dell angolo), per il punto A di intersezione tra r e t possiamo condurre una retta r , distinta da r, tale che siano t individuati della rette congruenti questi angoli alterni interni: r A r , s e t. III. Per la prima parte del teorema: r // s. IV. L ipotesi è in contraddizione con III (per l assioma 5 della parallela non possono esserci due rette distinte, r e r , passanti per lo stesso punto, A, parallele alla stessa retta, s). L ipotesi contraria non può essere accettata. Quindi: r // s c.v.d. ATTENZIONE! A L coppie di angoli alterni interni Le sono due. Oltre agli angoli e sono alterni interni anche e (anch essi congruenti se le rette sono parallele): r s t 91