11 Formalizzare problemi si intende spedire. A questo scopo è utile tracciare i grafici delle due equazioni e confrontarli. Esse rappresentano due rette di coefficiente angolare, rispettivamente 0,50 e 1 e intersezione con l asse dei costi, rispettivamente, 50 e 30. La figura conferma quanto trovato algebricamente e cioè che i costi si equivalgono per un trasporto di 40 km, ma ci suggerisce anche che fino a 40 km conviene la seconda ditta di spedizioni mentre oltre i 40 km conviene la prima. Da sottolineare che tutta l analisi deve sottostare a una condizione (detta anche vincolo) e cioè che, perché il problema abbia senso, q deve essere positivo. O In una città vi sono tre discoteche: nella discoteca A si spendono 20 euro per la tessera mensile più 8 euro per ogni ingresso; nella discoteca B, invece, la tessera mensile costa 53 euro, ma non si paga l ingresso; la discoteca C, infine, non fa pagare la tessera mensile, ma ogni ingresso costa 12 euro. Quale delle tre discoteche è la più conveniente, se si stima di recarvisi non più di una volta a settimana? La spesa mensile dipende dal numero di volte che intendiamo andare in discoteca. Formalizziamo il problema indicando con x (variabile indipendente) il numero degli ingressi in discoteca e con y (variabile dipendente) la spesa sostenuta. In questo modo possiamo tradurre le tre proposte offerte dai tre locali con le seguenti equazioni: per A: y = 8x + 20 per B: y = 53 per C: y = 12x Occorre poi aggiungere la condizione che x N. Otteniamo quindi il seguente sistema di formule con x N: y = 8x + 20 y = 53 {y = 12x y 60 P C A B Senza tener conto della condizione 40 x N, le tre equazioni sono rappresentate graficamente da tre ret20 te. Scegliamo un sistema di riferimento con unità di misura diverse per i due assi cartesiani per visuaO 1 2 3 4 5 x lizzare meglio la situazione. La linea in colore azzurro è la linea di minor costo. Le rispettive rette di C e B si intersecano nel punto P(4,416 ; 53). Come possiamo vedere direttamente anche dal grafico, fino a 4 ingressi mensili conviene la discoteca C; con 5 o più ingressi conviene invece la discoteca B. La discoteca A non è mai conveniente. ATTENZIONE! A S si considerasse la condizione Se x N non si avrebbero tre rette, ma tre sequenze allineate di punti (perché di ogni retta dovremmo considerare soltanto i punti con ascissa un numero naturale). FISSA I CONCETTI Q Il problema precedente è un problema di scelta tra alternative lineari: occorre individuare per quali intervalli della variabile x conviene l una o l altra delle alternative (in questo caso l una o l altra delle discoteche). Il criterio di convenienza, detto anche di ottimizzazione, può essere quello di massimizzare la variabile dipendente (scegliere cioè quei tratti del grafico per i quali la y è massima) o quello di minimizzarla (scegliere cioè quei tratti per i quali la y è minima). Il punto P di intersezione di due grafici è detto punto di indifferenza per le due alternative e si ottiene risolvendo il sistema formato dalle due equazioni. Q Un problema geometrico è in forma analitica se i dati e le incognite sono espressi attraverso numeri o relazioni algebriche. Nel piano cartesiano stabiliamo le seguenti corrispondenze: punto coppia ordinata di numeri reali; retta equazione di primo grado in due incognite; semipiano disequazione di primo grado in due incognite. 435