10 Calcolo delle probabilità que, a ogni successivo lancio, se non abbiamo motivi per sospettare che la moneta sia truccata, rimane: 1 prob(T) = prob(C) = _ 2 anche nel caso si fosse verificato un significativo scarto tra frequenze registrate e probabilità teorica. esempio O Lancia un dado con una faccia colorata C e le altre color legno. Quali delle seguenti affermazioni sono giustificate in base alla legge dei grandi numeri? 150 a. Se in 1200 lanci la faccia C esce 150 volte e, quindi, f(C) = _, cioè un 1200 1 valore minore di _, allora al 1201-esimo lancio è più probabile che esca C. 6 b. Se per 30 lanci consecutivi non è uscita C, allora al 31-esimo lancio è più probabile che esca C. c. Aumentando il numero dei lanci, certamente la frequenza relativa di C si 1 avvicina a _. 6 d. Aumentando il numero dei lanci, è più probabile che la frequenza relativa 1 si avvicini a _ piuttosto che se ne allontani. 6 e. Si può sempre aumentare il numero di prove effettuate in modo tale che lo 1 scarto tra la frequenza relativa e _ sia certamente minore di quello finora 6 rilevato. L unica affermazione che può essere dedotta dalla legge dei grandi numeri è la d. La legge dei grandi numeri non garantisce che, all aumentare del numero delle prove, la frequenza relativa coincida con la probabilità dell evento. Tuttavia, all aumentare del numero delle prove effettuate, è maggiore la probabilità che la frequenza relativa si stabilizzi attorno a un determinato valore; con buona approssimazione, possiamo assumere tale valore come probabilità dell evento. Con questa legge si stabilisce perciò un legame tra la statistica (che studia il modo di registrare le caratteristiche di eventi che sono avvenuti) e il calcolo delle probabilità (che permette di effettuare previsioni). FISSA I CONCETTI Q Q Legge dei grandi numeri: la probabilità che |prob(A) f (A)| tenda ad annullarsi aumenta via via che aumenta il numero di esperimenti indipendenti. La legge dei grandi numeri stabilisce un legame tra statistica e probabilità. 4.4 Il valore medio di una variabile aleatoria Nell analisi statistica, registrando le frequenze assolute fi con le quali si presentano le diverse modalità x1, , xk di un carattere, calcoliamo la media aritmetica in questo modo: x1 f1 + + xk fk m = ______________________ n dove n = f1 + + fk rappresenta il numero totale dei dati rilevati. La media tra x1, , xk è anche detta valore medio e indicata con x . La formula precedente si può pertanto scrivere anche in quest altro modo: x1 f1 xk fk x = _ + +_ n n 401