10 Calcolo delle probabilità In generale, se un evento B può verificarsi insieme a n eventi tra loro incompatibili, A1, , An, dobbiamo applicare insieme la formula della probabilità totale e la definizione di probabilità condizionata e abbiamo: prob(B) = prob(A1) prob(B|A1) + + prob(An) prob(B|An) Le alternative A1, A2, , An che, oltre a essere tra loro incompatibili, esauriscono tutte le possibilità (come nel caso delle tre possibili urne dell esempio precedente) costituiscono un sistema completo di alternative. La formula precedente, quindi, indica la probabilità del verificarsi dell evento B condizionato dal sistema di alternative A1, A2, , An. Approfondisci La formula di Bayes esempio O In una fabbrica si utilizzano tre macchinari per produrre ciambelle: 1 Q la macchina A1 produce _ delle ciambelle e, con probabilità del 90%, pro5 duce ciambelle con il buco; 2 Q la macchina A2 produce _ delle ciambelle e, con probabilità dell 80%, pro5 duce ciambelle con il buco; 2 Q la macchina A3 produce _ delle ciambelle e, con probabilità del 90%, pro5 duce ciambelle con il buco. Qual è la probabilità totale di produrre ciambelle con il buco? Se indichiamo con B l evento «produzione di una ciambella con il buco , abbiamo: 1 2 2 prob(B) = _ 0,9 + _ 0,8 + _ 0,9 = 0,86 5 5 5 C è dunque da aspettarsi che, mediamente, ogni 100 ciambelle prodotte, 86 abbiano il buco. FISSA I CONCETTI Q Probabilità condizionata di B rispetto ad A: prob(A e B) prob(B|A) = _ prob(A) da cui: prob(A e B) = prob(A) prob(B|A) Q Q Eventi indipendenti prob(B|A) = prob(B) Evento B condizionato da un sistema di alternative: prob(B) = prob(A1) prob(B|A1) + + + prob(An) prob(B|An) 3.3 Gli eventi e l informazione Il fatto che due eventi siano o meno indipendenti non è legato soltanto alla modifica della composizione dell urna (o del mazzo di carte o di un universo qualsiasi di casi possibili) dalla quale effettuiamo l estrazione. Esso è sostanzialmente legato allo stato di informazione che possediamo rispetto al fenomeno in questione. Chiariamo questo aspetto attraverso l esempio seguente. esempio O In un urna ci sono quattro palline, indistinguibili al tatto. Di esse tre sono bianche e una è nera. Analizza i due seguenti casi. a. Si estrae la prima pallina: è bianca e non la si rimette nell urna. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca (fig. a.)? b. Si estrae la prima pallina e, senza vederne il colore, la si mette da parte senza rimetterla nell urna. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca (fig. b.)? La situazione descritta in a. (in cui è certo che la prima pallina è bianca) è rappresentabile con questo grafo ad albero: 1 a. B 2 3 1 3 a. B b. N 395