GEOMETRIA PROBLEMI DI APPROFONDIMENTO SUL METODO ASSIOMATICO Disegna uno schema che mostri quale sequenza di assiomi e teoremi è necessaria per dimostrare ciascuno dei seguenti teoremi. Per fare ciò analizza le dimostrazioni nel testo. esercizio svolto Teorema 13 (Due rette tagliate da una trasversale sono parallele se e solo se formano angoli alterni, interni o esterni, congruenti). Assioma 5 Assioma 8 Teorema 12 Teorema 4 Teorema 13 109 Teorema 14 111 Teorema 16 113 Teorema 18 115 Teorema 20 110 Teorema 15 112 Teorema 17 114 Teorema 19 116 Teorema 21 Esegui quanto richiesto. [ ] 117 La seguente dimostrazione conduce a conclusioni evidentemente assurde. Individua l errore commesso. e la perpendicolare a BC condotta nel suo Dato un triangolo ABC, consideriamo la bisettrice dell angolo A punto medio M, che interseca la bisettrice nel punto O. Se la bisettrice è perpendicolare al lato BC, essa coincide con la retta OM e si ha che AB AC, cioè il triangolo è isoscele. A N O B M P C Se la bisettrice non coincide con la retta OM, dal punto O conduciamo le perpendicolari ad AB e ad AC rispettivamente nei loro punti medi N e P. I triangoli AOP e AON sono congruenti, in quanto triangoli rettangoli aventi l ipotenusa AO in comune e gli P e O AN congruenti. Dunque: AP AN e OP ON. angoli acuti OA I triangoli rettangoli MOB e MOC sono congruenti perché hanno gli angoli retti in M compresi fra lati congruenti (primo criterio). Dunque OB OC. Infine, i triangoli OPC e ONB sono congruenti perché sono rettangoli e OC OB e OP ON. Ne risulta che: PC NB. Dalle relazioni AP AN e PC NB deduciamo: AP + PC AN + NB AC AB Dunque tutti i triangoli sono isosceli. 118 Riportiamo l enunciato di un falso criterio di congruenza dei triangoli. Se due lati di un triangolo e l angolo opposto a uno di essi sono congruenti agli elementi corrispondenti di un altro triangolo, allora i due triangoli sono congruenti. Dimostra con un controesempio che il teorema non è vero. 120