GEOMETRIA DIMOSTRA i seguenti teoremi. 52 Se due rette sono parallele, ogni perpendicolare a una di esse è perpendicolare anche all altra. 53 Le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari. 54 Se due angoli hanno i lati perpendicolari, essi sono congruenti o supplementari. 55 In ogni triangolo isoscele, ogni retta perpendicolare alla base interseca uno dei lati congruenti e il prolungamento dell altro in due punti equidistanti dal vertice del triangolo stesso. 56 Ogni retta, perpendicolare alla bisettrice di un angolo qualunque, incontra i suoi lati in due punti che formano con l angolo dato un triangolo isoscele. Completa le dimostrazioni dei seguenti teoremi disegnando, all occorrenza, rette o segmenti perpen[ ] dicolari o obliqui alle figure. 57 Dati un punto e una retta, non passante per esso, due oblique, condotte dal punto alla retta e aventi su di essa proiezioni congruenti, sono congruenti. Ip: ............................................ Ts: ........................................... Dimostrazione Confrontiamo due oblique AB, AC, le cui proiezioni HB, HC sulla retta a siano congruenti. I due triangoli AHB e AHC ......................................... 58 Dati un punto e una retta, non passante per esso, se le rispettive proiezioni di due oblique per il punto alla retta non sono congruenti, allora è maggiore l obliqua la cui proiezione è maggiore. Ip: ............................................ Ts: ........................................... Dimostrazione Primo caso: AB e AC cadono dalla stessa parte rispetto a H. A è ........................................... Esso è, per il teorema 12, ........................................... Rispetto al triangolo AHC, BC A è maggiore di un angolo retto. Nel triangolo BCA, quindi, il lato AB è maggiore Ne segue che l angolo BC del lato AC, perché ............................. Abbiamo dunque che, se BH > CH, allora AB > AC. Secondo caso: AB e AC cadono da parti opposte rispetto a H. Consideriamo un punto C in modo tale che C H HC. Per la parte di dimostrazione precedente, ........................ mentre, A A confrontando le oblique AC e AC, .................. da B cui si deduce: ............................. C primo caso H a a B C Consideriamo una retta r e un punto P esterno a essa. Se tracciamo per P delle oblique a r, la proiezione di ciascuna di esse è tanto maggiore quanto maggiori sono l obliqua stessa e l angolo che questa forma con la perpendicolare per P a r. 60 Se due lati di un triangolo non sono congruenti, l altezza uscente dal loro vertice comune forma con il lato maggiore un angolo maggiore. 116 C secondo caso DIMOSTRA Utilizzando i teoremi dei tre esercizi precedenti, dimostra i seguenti teoremi. 59 H [ ] 61 Dati una retta e un punto non appartenente a essa, il segmento che ha per estremi il punto e la sua proiezione sulla retta è minore di ogni obliqua condotta dallo stesso punto alla retta. Ip: PAr Ts: PA < AB per ogni punto B non coincidente con A. 62 Se due lati di un triangolo non sono congruenti, la bisettrice uscente dal loro vertice comune è interna all angolo formato dalla mediana e dall altezza uscenti dallo stesso vertice. Inoltre è minore della prima, ma maggiore della seconda.