GEOMETRIA 22 Se due angoli hanno i lati rispettivamente paralleli e intersezione non vuota, allora o sono congruenti o sono supplementari. 23 Dimostrazione opportuno distinguere diversi casi: b e a a. gli angoli aO O b hanno i lati rispettivamente paralleli e la loro intersezione è ancora un angolo. b ......................., perché ....................... aO Dimostrazione Poiché l intersezione è vuota, le semirette parallele dei lati dei due angoli non possono avere ordinamenti dello stesso tipo. Infatti, se avessero ordinamenti dello stesso tipo l intersezione dei due angoli sarebbe ............................ Sono allora possibili due casi: b ....................... Analogamente a P Per la proprietà transitiva della congruenza, si ha: ....................... Se due angoli hanno i lati rispettivamente paralleli e intersezione vuota, allora o sono congruenti o sono supplementari. a ....................... a P O O b a O b b a b O b b. le semirette parallele Oa e O a hanno lo stesso tipo di ordinamento, mentre Ob e O b hanno ordinamenti di tipo opposto; la loro intersezione non è un angolo, ma una regione come quel b a P b, perché ....................... la in figura. aO O O b a a O ....................... ma i due anAnalogamente: a P O e a P b sono supplementari, per cui goli a P Nel primo caso, gli ordinamenti di Ob e O b sono e quelli di Oa e O a sono ....................... Nel secondo caso, gli ordinamenti di Ob e O b ....................... ....................... a a O b sono ....................... e quelli di Oa e O a sono ....................... I. Nel primo caso, prolunghiamo la semiretta O a dalla parte opposta rispetto a O ; otteniamo O a . La semiretta O a interseca Ob in un punto P. b e a P b sono ....................... perché Gli angoli aO b P O b e a c. i due angoli aO O b hanno entrambi i lati con orientamenti rispettivamente di tipo opposto. Detta P l intersezione della semiretta O a con il lato Ob, risulta: b O P b, perché ......................., aO ....................... a sono ................................... perGli angoli b O a e OP ché ............................ a e a P b sono ....................... perché ....................... Ma, OP b sono ....................... Quindi gli angoli b O a e aO b ......................., perché alterni interni rispetO P II. Nel secondo caso, prolunghiamo la semiretta O b dalla parte opposta rispetto a O ; otteniamo O b . Indichiamo con P il punto in cui essa interseca la semiretta Oa. b aP b perché ....................... aO to a ....................... Quindi, per la proprietà transitiva della congruenza: ....................... ....................... b a P O a 112 b e a Ma aP O b sono ....................... perché ....................... b sono ....................... b e a O quindi aO O b 24 Riunisci i teoremi dimostrati negli esercizi 22 e 23 nell enunciato di un solo teorema.