Volume 3 Unità 6 Similitudini e affinità x=2 y u SINTESI ATTIVA SAPERE 1-C; 2-H; 3-E; 4-G; 5-F; 6-B; 7-A; 8-I; 9-D C C SAPER FARE 1 Unendo i punti medi dei lati di un poligono regolare si ottiene un altro poligono regolare con lo stesso numero di lati del primo: l ampiezza degli angoli del secondo poligono resta inalterata e i suoi lati sono modificati rispetto a quelli del primo secondo un rapporto k, dipendente dal tipo di poligono _ considerato. Nel caso 3 particolare dell esagono regolare k = ___ . 2 2 a, b, c, e 3 Consideriamo due triangoli simili ABC e A B C . Sia CM la mediana relativa al lato AB e C M la mediana relativa al lato A B . C C A M B A M B I due triangoli ACM e A C M sono simili per il primo criterio di similitudine perché hanno: AC AB C AM C A M e ____ = ____ perché i triangoli ABC e A B C A C A B sono simili AM 1 AB 1 _____ = ____ perché AM = __ AB e A M = __ A B 2 2 A M A B AM AC _____ = ____ per la proprietà transitiva A M A C Ne segue che AC : A C = CM : C M ; ma vale anche la relazione AC : A C = AB: A B perché i due triangoli di partenza sono simili. Dal confronto delle due relazioni si ottiene la tesi, cioè CM : C M = AB : A B 4 Chiamiamo P il punto di intersezione fra la retta r e la retta passante per A e B. Utilizzando il teorema della secante e della tangente, possiamo individuare il punto di tangenza T della circonferenza utilizzando la proporzione PA : PT = PT : PB. Possiamo, ora, individuare il centro C della circonferenza intersecando la retta passante per T e perpendicolare a r con l asse del segmento AB. La circonferenza cercata ha centro C e raggio CT. s r T P A C B A B O A C B x B A Se inverti l ordine, cioè prima la simmetria e poi l omotetia non ottieni la stessa similitudine 8 in altre rette, no 9 no 4 10 __ 3 VERSO LA VERIFICA 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 I triangoli AHD e ABD sono due triangoli rettangoli: AHD per costruzione, mentre ABD perché inscritto in una semicirconferenza. Dal momento che AB e CD sono parallele, gli B e AD C sono congruenti perché angoli alterni interni angoli DA formati dalle rette parallele AB e CD tagliate dalla trasversale AD. D e AB D sono congruenti Di conseguenza anche gli angoli HA perché complementari di angoli rispettivamente congruenti. I triangoli AHD e ABD, sono, dunque, simili per il primo criterio di similitudine __ 4 7 A ( 4 ; 6), B (10 ; 6), C (2 ; 14); 2pABC = 12 + 2, __ 2p 8 AABC = 14, 2pA B C = 24 + 2, AA B C = 56; ___ = 2 = |k|, 2p A __ = 4 = k2 A 8 A (1 ; 3), B (3 ; 5), C (7 ; 1) 9 le rette trasformate sono y = 0 e y = 2 e sono parallele 10 h = k = 1 traslazione; h = k, a = b = 0 omotetia; h = 1, k = 1, a = b = 0 simmetria rispetto asse x; h = 1, k = 1, a = b = 0 simmetria rispetto asse y; h = k = 1, a = b = 0 simmetria rispetto all origine Unità 7 Circonferenze SINTESI ATTIVA SAPERE 1-D; 2-A; 3-E; 4-B; 5-C SAPER FARE 1 x2 + y2 = 3 3 2 2 (x + 1)2 + (y __) = 2 4 3 A e C appartengono alla circonferenza, B è interno, D è esterno 5 __ 5 (13 + 13) cm; 39 cm2 6 5,56 cm 7 nel disegno, il triangolo A B C è ottenuto attraverso l omotetia e il triangolo A B C è ottenuto da A B C attraverso la simmetria di asse x = 2. 580 __ 1 3 7 5 C(__ ; __), r = __ 4 4 8 7 x2 + y2 2x + 4y = 0 6 x2 + y2 6x 2y + 5 = 0 8 a. ( 1 ; 1), (3 ; 1); b. ( 1 ; 1); c. (0 ; 2) 4 a; e