RELAZIONI E FUNZIONI Trasliamo il grafico della funzione y = ax3 secondo un vettore v = (u ; w): al centro di simmetria O corrisponde il punto F(u ; w), che è il centro di simmetria del nuovo grafico: y v F x O Scriviamo le equazioni della traslazione di vettore v = (u ; w) e poi ricaviamo le equazioni della traslazione inversa: x = x + u x = x u {y = y + w {y = y w il grafico ottenuto, sempre nel sistema di riferimento Oxy, rappresenta la funzione di equazione: y w = a (x u)3 y w = ax3 3ax2u + 3axu2 au3 y = ax3 3aux2 + 3au2x au3 + w Con uno stiramento lungo gli assi e una traslazione, otteniamo così, a partire dal grafico di y = x3, quello di una funzione espressa algebricamente da un polinomio completo di terzo grado del tipo y = ax3 + bx2 + cx + d. La traslazione lascia inalterate le caratteristiche geometriche del grafico: la curva è una cubica con centro di simmetria in un punto diverso dall origine. ATTENZIONE! A Ot Otteniamo il polinomio completo di terzo grado y = ax3 + bx2 + cx + d effettuando le sostituzioni: b = 3au, c = 3au2, d = au3 + w nel polinomio che abbiamo ricavato da y = ax3 con la traslazione di vettore v = (u ; w). Viceversa possiamo ricavare u, w a partire da a, b, c e d ottenendo così le coordinate del centro di b bc simmetria F (___ ; d __) 3a 9a (vedi Approfondimento online). Approfondisci Ricaviamo u, w a partire da a, b, c, d 250 esempi O Traccia il grafico della funzione y = x3 1. Il grafico della funzione y = x3 1 è ottenuto da quello della funzione y = x3 (in grigio nel disegno) con la traslazione di vettore v = (0 ; 1): è quello tracciato in nero. y y = x3 y = x3 1 1 1 1 1 Infatti, la traslazione di vettore v ha equazioni: x = x {y = y 1 L equazione y = x3 diviene: y + 1 = x 3 cioè, nel riferimento Oxy: y = x3 1 2 3 x