ALGEBRA 87 x 2 2(k 1)x + k 1 = 0 k 2, due soluzioni reali k = 1 o k = 2, una soluzione reale 1 2, due soluzioni reali 2 88 x 2 + (2m + 2)x m(m 7) 1 = 0 1 m = __ o m = 2, una soluzione reale 2 m R _1_ 2 1, nessuna soluzione reale ULTERIORI PROBLEMI Determina il valore del parametro affinché l equazione soddisfi le condizioni richieste. esercizio svolto Data l equazione (k + 3)x2 2(k 3)x + k = 0 determina k in modo che: a. le soluzioni siano reali; b. una soluzione sia nulla; c. la somma delle soluzioni sia 3; d. il prodotto delle soluzioni sia 1. a. L equazione ha il termine A = k + 3. Osserviamo quindi che se k + 3 = 0, cioè se k = 3, l equazione si 1 abbassa di grado e abbiamo: 12x 3 = 0 quindi x = __. 4 Se k 3 dobbiamo calcolare il discriminante (B è pari quindi utilizziamo la formula ridotta): = (k 3)2 k(k + 3) = k2 6k + 9 k2 3k = 9k + 9 Le soluzioni sono reali se 0 k 1 b. Se una soluzione è nulla, sostituiamo 0 al posto di x e otteniamo: k = 0 In questo caso potevamo anche ricordare che un equazione ha soluzione nulla se il suo termine noto è 0 c. Ricordiamo che in una equazione di secondo grado con 0 la somma delle soluzioni è legata ai 2(k 3) B coefficienti dell equazione dalla relazione: x1 + x2 = __ _______ = 3 A (k + 3) 2k 6 = 3k + 9 k = 15 (accettabile perché k 1 è la condizione affinché si abbiano soluzioni reali) d. Ricorda che in una equazione di secondo grado con 0 il prodotto delle soluzioni è legato ai C k coefficienti dell equazione dalla relazione: x1 x2 = __ ______ = 1 k = k + 3 0k = 3 A (k + 3) impossibile non esiste k R 90 232 Determina per quali valori reali di a (a 0) l equazione ax2 2x a = 0: a. ha soluzioni reali; b. una soluzione è 1; c. la somma delle soluzioni è 2; d. il prodotto delle soluzioni è uguale alla loro somma. [per ogni a reale] [nessun valore di a] [a = 1] [a = 2]