Il Maraschini-Palma - volume 3

ALGEBRA Supponiamo che, una volta scomposti i due polinomi f(x) e g(x), abbiamo, per esempio, una situazione di questo tipo: f1 (x) f2 (x) fn (x) ______________________ >0 g1 (x) g2 (x) gn (x) Possiamo allora controllare in quale intervallo di valori di x ciascuno dei fattori f1(x), , fn(x), g1(x), , gn(x), è positivo e rappresentare graficamente con uno schema avente n + m righe quanti sono i fattori più la riga del segno risultante dalla regola del prodotto. esempio O Risolvi la seguente disequazione: 4 2 x 16x ____________ >0 x4 1 Possiamo scomporre sia numeratore sia denominatore: 2x x3 8 4 2x(x 2) x2 + 2x + 4 ( ) ( ) 2 x 16x ____________________ ____________ = = ___________________________ x4 1 2 2 2 (x + 1)(x 1) (x + 1)(x + 1)(x 1) La disequazione ha significato per x 1. Consideriamo ciascun fattore e vediamo dove è positivo: f1(x)>0 f2(x)>0 f3(x)>0 g1(x)>0 g2(x)>0 g3(x)>0 2x > 0 x 2>0 x2 + 2x + 4 > 0 x2 + 1 > 0 x+1>0 x>0 x>2 per ogni x R per ogni x R x > 1 x 1>0 x>1 Riportiamo le informazioni in una tabella: 0 1 FISSA I CONCETTI Nella risoluzione di una disequazione frazionaria dobbiamo sempre arrivare a una di queste forme: f (x ) _ >0 f (x ) _ 0 f > 0 oppure {g > 0 {g 0 oppure {g 0 g 222 1 2 f1(x) + + + f2(x) + f3(x) + + + + + g1(x) + + + + + g2(x) + + + + g3(x) + + f(x) g(x) + + + La disequazione frazionaria chiede che la frazione sia positiva e quindi dall ultima riga della tabella leggiamo gli intervalli relativi al segno +, cioè: x 2 L insieme delle soluzioni è quindi: {x R x 2}

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