Le equazioni letterali di secondo grado

ALGEBRA PROVA TU P Di Discuti e risolvi le seguenti equazioni letterali di primo grado dove l incognita è x: a. 2bx = b + 1 b. k 2x k 2 = 3k + 2 kx FISSA I CONCETTI Q Q Ax = B: equazione letterale di primo grado. Discutere una equazione letterale significa stabilire per quali valori dei parametri essa è determinata, impossibile o indeterminata. Se A = 0 e B = 0 equazione indeterminata; infinite soluzioni; Se A = 0 e B 0 equazione impossibile; nessuna soluzione; Se A 0 equazione determinata; una soluzione B x = __ A esempio O Per quali valori del parametro k la seguente equazione (di incognita x) è una equazione determinata? Per quali valori di k è impossibile? k(7x 2) x(k + 3) + 5 = 0 Dopo aver svolto le operazioni, lasciamo a sinistra solo i termini con l incognita x, che mettiamo in evidenza. Otteniamo: (6k 3)x = 2k 5 1 Se 6k 3 = 0 cioè se k = __, sostituendo nell equazione otteniamo: 2 1 0x = 2 __ 5 0 = 4 2 1 Per k = __ l equazione è pertanto impossibile. 2 1 Se invece 6k 3 0, cioè se k __, 2 l equazione è determinata con soluzione: 2k 5 x=_ 6k 3 Le equazioni letterali di secondo grado ATTENZIONE! A P i valori del parametro che Per annullano il coefficiente A, l equazione si abbassa di grado, diventando una equazione di primo grado. 208 Anche una equazione di secondo grado può contenere, oltre all incognita, altre lettere, variabili a seconda del particolare problema considerato, le quali rappresentano i parametri dell equazione stessa. Per risolvere una equazione letterale di secondo grado, utilizziamo la stessa procedura delle equazioni numeriche, mettendo tuttavia ben in rilievo i coefficienti dei termini dell equazione che possono a loro volta essere espressioni letterali: li indichiamo con le lettere maiuscole A, B e C e scriviamo così l equazione in forma normale: Ax2 + Bx + C = 0 Come nel caso delle equazioni di primo grado, dobbiamo discutere sotto quali condizioni l equazione ha significato. Per le equazioni di secondo grado dobbiamo inoltre discutere per quali valori dei parametri le soluzioni sono reali e distinte, reali e coincidenti oppure non esistono in R. Vediamo un esempio di equazione letterale nell incognita x e parametro k R: (2k + x)x = 1 k(1 + x2) Innanzitutto, svolgiamo le moltiplicazioni: 2kx + x2 = 1 k kx2 Riordiniamo l equazione secondo le potenze decrescenti di x: kx2 + x2 + 2kx + k 1 = 0 mettiamo in evidenza x2 tra i primi due monomi e scriviamo l equazione in forma normale: (k + 1)x2 + 2kx + (k 1) = 0 evidenziamo i coefficienti: A=k+1 B = 2k C=k 1 Discutiamo l equazione. Q Se A = 0 cioè k + 1 = 0 k = 1, allora l equazione diventa di primo grado: sostituendo k = 1 nell equazione otteniamo: 2x 2 = 0 x = 1 Quindi se k = 1, l equazione ha una sola soluzione: x = 1.

Il Maraschini-Palma - volume 3
Il Maraschini-Palma - volume 3