4 Equazioni, disequazioni, sistemi Se a + 3 0, cioè a 3, dividendo sia a destra sia a sinistra nell equazione per (a + 3) otteniamo: (a2 9) x = _______ e scomponendo in fattori il numeratore (a + 3) (a 3) (a + 3) x = ____________ x = a 3 (a + 3) Quindi: se a = 3 l equazione è indeterminata e può assumere infinite soluzioni; se a 3 l equazione è determinata con soluzione x = a 3. Per risolvere una equazione letterale procediamo, quindi, come per quelle numeriche. Tuttavia, è necessario porre delle condizioni ai parametri affinché i passaggi siano corretti. La discussione di una equazione Una equazione letterale di primo grado in una incognita, come una qualsiasi equazione numerica, può essere ridotta alla forma: Ax = B dove A e B sono numeri reali, monomi o, più in generale, polinomi. Dobbiamo allora ragionare su ciò che succede a seconda dei valori di A e di B. Questo ragionamento è detto discussione dell equazione. Se A 0, possiamo dividere per A e otteniamo la soluzione: B l equazione è determinata e ha una sola soluzione. x=_ A Se invece A = 0, non possiamo dividere per A e possono presentarsi due casi: se B 0 allora l equazione diventa 0x = B: l equazione è impossibile; se B = 0, l equazione diventa 0x = 0: l equazione è una identità e, poiché ha infinite soluzioni, è indeterminata. Possiamo riassumere la situazione con questo schema grafico: A 0 Ax = B B x = __: equazione determinata; una sola soluzione reale A B 0: equazione impossibile; nessuna soluzione in R A=0 B = 0: equazione indeterminata; infinite soluzioni; l insieme delle soluzioni è R La risoluzione di una equazione letterale deve quindi essere accompagnata da una discussione su quali possano essere le effettive soluzioni e quali siano i casi in cui l equazione diventa impossibile oppure indeterminata. Discutere una equazione letterale di primo grado significa stabilire per quali valori del parametro essa è determinata, impossibile o indeterminata. 207